Để thực hiện các phép tính trong bài này, ta sẽ làm từng phần một:

### a) \( \frac{x+y}{3x} + \frac{x-2y}{3x} \)

Kết hợp hai phân số:

\[
\frac{x+y + (x-2y)}{3x} = \frac{2x - y}{3x}
\]

### b) \( \frac{x^2 + 4}{x-2} + \frac{4x}{2-x} \)

Để cộng hai phân số này, ta nhận thấy rằng \(2 - x = -(x - 2)\), nên có thể viết lại phân số thứ hai:

\[
\frac{4x}{2-x} = -\frac{4x}{x-2}
\]

Thay vào:

\[
\frac{x^2 + 4}{x-2} - \frac{4x}{x-2} = \frac{x^2 + 4 - 4x}{x-2} = \frac{x^2 - 4x + 4}{x-2} = \frac{(x-2)^2}{x-2} = x-2 \quad (x \neq 2)
\]

### c) \( \frac{6}{x^2 + 4x} + \frac{3}{2x + 8} \)

Biến đổi phân số đầu tiên:

\[
x^2 + 4x = x(x + 4), \quad 2x + 8 = 2(x + 4)
\]
Do đó:

\[
\frac{6}{x(x+4)} + \frac{3}{2(x+4)} = \frac{6 + \frac{3}{2}x}{x(x+4)}
\]

Chúng ta cần tìm mẫu chung và cộng:

\[
= \frac{12 + 3x}{2x(x + 4)} \quad (x \neq 0, -4)
\]

### d) \( \frac{x+1}{x-2} + \frac{x-2}{x+2} + \frac{x-14}{x^2 - 4} \)

Biến đổi \(x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)\).

Hai phân số đầu tiên có mẫu khác nhau, nên ta cần tìm mẫu chung là \((x - 2)(x + 2)\):

\[
\frac{(x + 1)(x + 2)}{(x - 2)(x + 2)} + \frac{(x - 2)(x - 2)}{(x - 2)(x + 2)} + \frac{x - 14}{(x - 2)(x + 2)}
\]

Kết hợp chúng lại:

\[
= \frac{(x + 1)(x + 2) + (x - 2)^2 + (x - 14)}{(x - 2)(x + 2)}
\]

Rút gọn tử số:

\[
= \frac{x^2 + 3x + 2 + (x^2 - 4x + 4) + (x - 14)}{(x - 2)(x + 2)}
\]

\[
= \frac{2x^2 + 3x + 2 - 4x - 14}{(x - 2)(x + 2)} = \frac{2x^2 - x - 12}{(x - 2)(x + 2)}
\]

Chúng ta có:

\[
= \frac{2(x^2 - \frac{1}{2}x - 6)}{(x - 2)(x + 2)} \quad (x \neq 2, -2)
\]

Tóm lại, đây là các kết quả của các phép tính đã cho.