Để chứng minh các điểm trong bài toán hình học này, ta có thể làm theo các bước sau:

1. **Chứng minh \( OD^2 = OH \cdot OA \)**:
- Dựa vào định lý tiếp tuyến trong tam giác (\( OA \) là tiếp tuyến, \( OH \) là khoảng cách từ \( O \) đến tiếp tuyến qua \( H \)).

2. **Chứng minh các tam giác đồng dạng**:
- \( \triangle OHD \sim \triangle ODA \): Từ góc \( OAD \) là chung và \( OH \perp AD \).
- \( \triangle OHE \sim \triangle OEA \): Từ góc \( OAE \) là chung và \( OH \perp AE \).

3. **Tính chất đường thẳng song song**:
- Khi \( D \) kẻ đường thẳng song song với \( BE \), ta có thể áp dụng định lý vừa chỉ ra để chứng minh rằng các điểm \( M \) và \( N \) đều nằm trên \( BC \) và có liên hệ với \( D \).

4. **Chứng minh rằng \( HI \) là tia phân giác**:
- Sử dụng tính chất của phân giác trong tam giác \( DHE \) để chứng minh rằng \( HI \) chia góc \( DHE \) thành hai góc bằng nhau.

5. **Chứng minh \( D \) là trung điểm của \( MN \)**:
- Từ sự đồng dạng và tính chất của các đường nối và góc, cho thấy rằng \( D \) nằm chính giữa \( M \) và \( N \).

thể hiện được mối quan hệ giữa các điểm và đường thẳng trong hình, từ đó chứng minh được các kết luật của đề bài.