Để giải bài toán này, ta sẽ thực hiện từng phần một.

### a) Chứng minh \( AE \cdot AB = AF \cdot AC \)

Trong tam giác vuông \( ABC \) tại \( A \), theo định nghĩa đường cao \( AH \), ta có:

\[
AH^2 = AE \cdot AF \quad (1)
\]

- Đặt \( AB = c \), \( AC = b \), và \( AH = h \).
- Ta có từ định lý Pythagoras trong tam giác vuông:

\[
c^2 = h^2 + AE^2 \quad (2)
\]
\[
b^2 = h^2 + AF^2 \quad (3)
\]

Từ (2) và (3), ta có:

- Từ (1), ta đổi lại thành:

\[
h^2 = AE \cdot AF
\]

Chúng ta cũng biết rằng:

\[
AE = AB \cdot \cos(\angle BAC) \quad (4)
\]
\[
AF = AC \cdot \cos(\angle BAC) \quad (5)
\]

Nhân \( (4) \) và \( (5) \):

\[
AE \cdot AB = AB \cdot \cos(\angle BAC) \cdot AC \cdot \cos(\angle BAC) = AF \cdot AC
\]

Do đó, ta có \( AE \cdot AB = AF \cdot AC \).

### b) Cho biết \( AB = 4cm \), \( AH = 3cm \). Tính độ dài \( AE \) và \( BE \).

Từ \( AB \) và \( AH \), ta sử dụng định lý Pythagoras cho tam giác \( AHB \):

\[
AB^2 = AH^2 + BE^2
\]

Thay giá trị vào:

\[
4^2 = 3^2 + BE^2
\]
\[
16 = 9 + BE^2 \quad \Rightarrow \quad BE^2 = 16 - 9 = 7
\]
\[
BE = \sqrt{7} \approx 2.65 \text{ cm}
\]

Từ (2):

\[
AH^2 = AE \cdot AF
\]
Mà \( AE + BE = AB = 4 \), suy ra:

\[
AE + \sqrt{7} = 4 \quad \Rightarrow \quad AE = 4 - \sqrt{7} \approx 4 - 2.65 \approx 1.35 \text{ cm}
\]

### c) Biết \( \angle HAC = 30^{\circ} \). Tính \( FC \).

Trong tam giác vuông \( HAC \):

\[
\tan(30^{\circ}) = \frac{AH}{HC}
\]

Ta có \( AH = 3 \) cm và \( \tan(30^{\circ}) = \frac{1}{\sqrt{3}} \):

\[
\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{3}{HC} \quad \Rightarrow \quad HC = 3\sqrt{3} \text{ cm}
\]

Để tính \( FC \):

Đầu tiên, ta biết rằng trong tam giác vuông \( AHC \) thì \( AC = AH \cdot \tan(\angle HAC) \)

\[
AC = 3 \cdot \tan(30^{\circ}) = 3 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \sqrt{3} \text{ cm}
\]

Vì \( HC + FC = AC \), ta có:

\[
FC = AC - HC = \sqrt{3} - 3\sqrt{3} = -2\sqrt{3}
\]

Toàn bộ quá trình này được thực hiện dựa trên các định lý hình học, và có thể thay đổi nếu tính toán không chính xác.

Do đó, các kết quả tìm kiếm là:

- a) \( AE \cdot AB = AF \cdot AC \) là đúng.
- b) \( AE \approx 1.35 \text{ cm}, BE \approx 2.65 \text{ cm} \).
- c) \( FC \) phụ thuộc vào các thông số đo, và tính toán có thể yêu cầu điều chỉnh về tỉ lệ chính xác hoặc được xem xét lại cách tính.