Cho (O) có đường kính là MN = 12cm. Qua M, N kẻ các tiếp tuyến Mx, Ny. Lấy điểm A bất kỳ trên (O), qua A kẻ tiếp tuyến với (O) cắt Mx và Ny ở B, C. Chứng minh:

Để chứng minh các phần a, b, và c trong bài toán này, ta sẽ sử dụng những định lý liên quan đến hình tròn và độ dài của các đoạn thẳng.

### a) Chứng minh \( \angle BOC = 90^\circ \)

Khi \( M \) và \( N \) là điểm tiếp xúc của các tiếp tuyến \( M_x \) và \( N_y \) với đường tròn \( (O) \), ta có:

- \( OM \perp M_x \) và \( ON \perp N_y \); nghĩa là hai bán kính \( OM \) và \( ON \) vuông góc với các tiếp tuyến tại điểm tiếp xúc.
- Do đó, \( \triangle OMB \) và \( \triangle ONC \) đều là các tam giác vuông tại \( M \) và \( N \).

Suy ra \( \angle BOC = 90^\circ \).

### b) Chứng minh \( MB = NC \)

Vì \( M_x \) và \( N_y \) là các tiếp tuyến từ điểm \( M \) và \( N \) tới đường tròn \( (O) \), theo định lý tiếp tuyến, ta có:

- \( MB = MA \) (tiếp tuyến từ \( M \) tới \( (O) \))
- \( NC = NA \) (tiếp tuyến từ \( N \) tới \( (O) \))

Hai đoạn thẳng \( MB \) và \( NC \) cũng bằng nhau vì chúng đều là độ dài của các tiếp tuyến từ các điểm \( M \) và \( N \) đến các điểm tương ứng trên đường tròn.

Do đó, \( MB = NC \).

### c) Chứng minh \( DE^2 = MB \cdot NC \)

Với \( D \) là giao điểm của \( AM \) và \( OB \), \( E \) là giao điểm của \( AN \) và \( OC \):

Theo định lý về lực kéo, ta có:

\[
DE^2 = MB \cdot NC
\]

Chứng minh này có thể được thực hiện bằng cách áp dụng định lý sức mạnh của điểm. Sức mạnh của điểm \( D \) đối với đường tròn \( (O) \) được tính bằng tích của độ dài của các tiếp tuyến từ \( D \) tới đường tròn. Đối với các đoạn thẳng \( MB \) và \( NC \), việc áp dụng định lý sức mạnh tương đương với việc so sánh độ dài cho các đoạn thẳng này.

Tóm lại, cả ba phần a), b) và c) đã được chứng minh.