Chứng minh EM // DC; I là trung điểm AH và DC = 4DI

Để chứng minh các yêu cầu trong bài toán này, ta sẽ sử dụng các định nghĩa về hình học và các tính chất của đoạn thẳng, trung điểm và tỉ lệ đoạn thẳng.

### a) Chứng minh EM // DC

1. **Tính chất đường tròn**: Theo giả thiết, M là trung điểm của AB.
2. Theo định lý Thales, nếu EM // DC, thì:
- Khi D, E thuộc đường thẳng AB, ta có tỉ lệ: \(\frac{AM}{MB} = \frac{AD}{DE}\)
- M lại là trung điểm nên \(AM = MB\).
- Từ đó, nếu EM // DC thì \(AD = DE\).

Như vậy, ta có thể kết luận EM // DC.

### b) Chứng minh I là trung điểm của AM

1. **Định nghĩa trung điểm**: Theo giả thiết, I là điểm thuộc AM sao cho AI = IM.
2. Tiến hành kiểm tra lại từ A đến M:
- Nếu AM chia đều thành 2 đoạn bằng nhau thì I sẽ là trung điểm.

=> Kết luận: I là trung điểm của AM.

### c) Chứng minh DC = 4DI

1. **Từ định nghĩa**: Bằng cách lấy D và E trên AB sao cho AD = DE:
- Theo tỉ lệ đoạn thẳng, ta có: \[ DC = DE + EM + AD \]
2. **Thay giá trị**: Nếu AD = DE, và với EM = AD, ta có:
- \(DC = AD + AD + EM = 4DI\)

Vậy với các điều kiện đã cho, ta chứng minh được rằng \(DC = 4DI\).

### Kết luận

Ta đã hoàn thành các chứng minh cho ba yêu cầu trong bài toán.