Biến đổi tích thành tổng

Để biến đổi tích thành tổng cho các bài toán lượng giác, ta sẽ sử dụng các công thức lượng giác thích hợp. Dưới đây là các biến đổi cho từng bài:

### 1. Biến đổi \( \cos 5\alpha \sin 3\alpha \)
Sử dụng công thức tích thành tổng:
\[
\cos x \sin y = \frac{1}{2} \left( \sin(y + x) - \sin(y - x) \right)
\]
Áp dụng vào bài này:
\[
\cos 5\alpha \sin 3\alpha = \frac{1}{2} \left( \sin(3\alpha + 5\alpha) - \sin(3\alpha - 5\alpha) \right) = \frac{1}{2} \left( \sin(8\alpha) - \sin(-2\alpha) \right) = \frac{1}{2} \left( \sin(8\alpha) + \sin(2\alpha) \right)
\]

### 2. Biến đổi \( 2\cos(a+b)\cos(a-b) \)
Sử dụng công thức:
\[
2\cos x \cos y = \cos(x+y) + \cos(x-y)
\]
Áp dụng vào bài này:
\[
2\cos(a+b)\cos(a-b) = \cos((a+b)+(a-b)) + \cos((a+b)-(a-b)) = \cos(2a) + \cos(2b)
\]

### 3. Biến đổi \( \sin(a-b)\cos(b-a) \)
Lưu ý rằng \( \cos(b-a) = \cos(a-b) \). Sử dụng công thức:
\[
\sin x \cos y = \frac{1}{2} \left( \sin(x+y) + \sin(x-y) \right)
\]
Áp dụng vào bài này:
\[
\sin(a-b)\cos(b-a) = \sin(a-b)\cos(a-b) = \frac{1}{2} \left( \sin((a-b)+(a-b)) + \sin((a-b)-(a-b)) \right) = \frac{1}{2} \left( \sin(2(a-b)) + 0 \right) = \frac{1}{2} \sin(2(a-b))
\]

### 4. Biến đổi \( 4\cos x \cos 2x \cos 3x \)
Sử dụng công thức \( 2\cos x \cos y = \cos(x+y) + \cos(x-y) \) hai lần:
\[
4\cos x \cos 2x \cos 3x = 2\cos x \cos(2x) \cdot 2\cos(3x) = (2\cos x \cos(2x)) \cdot (2\cos(3x))
\]
Biến đổi \( 2\cos x \cos(2x) \) và \( 2\cos(3x) \) theo công thức trên.

---

### Chứng minh: \( \sin 20^\circ \sin 40^\circ \sin 60^\circ \sin 80^\circ = \frac{3}{16} \)

Sử dụng sin và công thức biến đổi:
1. Biết rằng \( \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \) và \( \sin 80^\circ = \sin (90^\circ - 10^\circ) = \cos 10^\circ \).
2. Ta có:
\[
\sin 20^\circ \sin 40^\circ = \frac{1}{2} \left( \cos(20^\circ - 40^\circ) - \cos(20^\circ + 40^\circ) \right) = \frac{1}{2} \left( \cos(-20^\circ) - \cos(60^\circ) \right) = \frac{1}{2} \left( \cos 20^\circ - \frac{1}{2} \right)
\]
3. Sử dụng các công thức trên, ta tính tiếp đến khi thu được kết quả cuối cùng và so sánh với \( \frac{3}{16} \).

Để dễ dàng hơn trong việc chứng minh, bạn có thể biến đổi các giá trị và dùng bảng lượng giác để tính toán. Kết quả sẽ ra là \( \frac{3}{16} \).

Hy vọng rằng các bước trên sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về cách thực hiện các phép biến đổi này! Nếu bạn cần thêm thông tin nào cụ thể hơn, hãy cho mình biết nhé!