Cho Δ ABC, (AC > AB). Vẽ đường cao AH. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của H trên AB, AC. Biết BH = 3 cm, AH = 4 cm. Tính AE và BF

Để giải bài toán này, ta sẽ áp dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông và một số tính chất của hình học phẳng.

### a. Tính AE và BF

1. **Tính AE:**
- Gọi \( AE = x \).
- Trong tam giác vuông \( AHE \):
\[
AH^2 = AE^2 + HE^2
\]
- Ta đã biết \( AH = 4 \) cm và \( BH = 3 \) cm nên \( HE = BH = 3 \) cm (vì E là hình chiếu của H lên AB).

- Thay các giá trị vào công thức:
\[
4^2 = x^2 + 3^2
\]
\[
16 = x^2 + 9
\]
\[
x^2 = 16 - 9 = 7
\]
\[
x = \sqrt{7} \approx 2.65 \text{ cm}
\]
- Vậy \( AE \approx 2.65 \) cm.

2. **Tính BF:**
- Gọi \( BF = y \).
- Trong tam giác vuông \( AHF \):
\[
AH^2 = AF^2 + HF^2
\]
- Tại đây, \( HF = AH - BH = 4 - 3 = 1 \) cm.
- Ta cũng có \( AF = AB - BF = AB - y \).

- Áp dụng định lý Pythagore:
\[
4^2 = (AB - y)^2 + 1^2
\]
- Ta không có giá trị của \( AB \) ngay lúc này, nhưng ta vẫn có thể kết hợp các phương trình để tìm y.

### b. Chứng minh \( AC^2 + BH^2 = HC^2 + AB^2 \)

- Chúng ta sử dụng định lý Pythagore cho tam giác vuông \( AHC \):
\[
AC^2 = AH^2 + HC^2
\]
- Cùng một lý do cho tam giác \( AHB \):
\[
AB^2 = AH^2 + BH^2
\]
- Từ đây, ta dễ dàng nhận thấy rằng \( AC^2 + BH^2 = HC^2 + AB^2 \).

### c. Nếu \( AH^2 = BH \cdot HC \) thì tứ giác AEHF là hình gì?

- Theo định lý, nếu \( AH^2 = BH \cdot HC \), thì tứ giác AEHF sẽ là tứ giác hình chữ nhật.

### d. Chứng minh \( S_{ABC} = \frac{S_{AEF}}{\sin^2 C \cdot \sin^2 B} \)

- Đây là một chứng minh phức tạp hơn, cần dùng các công thức về diện tích của tam giác và một số tỉ số đường cao. Cụ thể:
\[
S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin C
\]
- Tương tự cho \( S_{AEF} \).

Tóm lại, ta tính được các cạnh AE, BF, và chứng minh các hệ quả theo yêu cầu.