Để chứng minh rằng:

\[
(a + 2c) \cdot (b + d) = (a + c) \cdot (b + 2d)
\]

Chúng ta sẽ mở rộng cả hai vế.

**Bên trái:**

\[
(a + 2c) \cdot (b + d) = ab + ad + 2bc + 2cd
\]

**Bên phải:**

\[
(a + c) \cdot (b + 2d) = ab + 2ad + bc + 2cd
\]

Bây giờ, chúng ta so sánh hai vế:

- Bên trái: \( ab + ad + 2bc + 2cd \)
- Bên phải: \( ab + 2ad + bc + 2cd \)

Ta thấy rằng cả hai biểu thức này đều có chung một số hạng là \( ab + 2cd \).

Còn lại, chúng ta so sánh \( ad + 2bc \) và \( 2ad + bc \):

\[
ad + 2bc = 2ad + bc
\]

Chuyển tất cả các hạng tử về một bên, ta có:

\[
ad + 2bc - 2ad - bc = 0 \Rightarrow -ad + bc = 0 \Rightarrow bc = ad
\]

Giả định \( \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \) tương đương với \( ad = bc \). Do đó, điều kiện này là thoả mãn.

Vậy ta đã chứng minh được:

\[
(a + 2c) \cdot (b + d) = (a + c) \cdot (b + 2d)
\]

### Phần b:

Để chứng minh:

\[
\frac{a^{2020} + b^{2020}}{c^{2020} + d^{2020}} = \frac{(a + b)^{2020}}{(c + d)^{2020}}
\]

Dựa vào điều kiện \( \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \), tức là \( \frac{a + b}{c + d} = k \) cho một số \( k \).

Áp dụng định lý Biến đổi Đẳng thức, ta có:

- Từ \( (a + b)^n = a^n + b^n \) khi \( a \) và \( b \) tỉ lệ.
- Tương tự cho \( c \) và \( d \).

Do đó, chúng ta có thể áp dụng vào dạng tổng quát:

\[
\frac{a^{n} + b^{n}}{c^{n} + d^{n}} = \frac{(a + b)^{n}}{(c + d)^{n}}
\]

Khi \( n = 2020 \), ta có:

\[
\frac{a^{2020} + b^{2020}}{c^{2020} + d^{2020}} = \frac{(a + b)^{2020}}{(c + d)^{2020}}
\]

Vậy là ta đã chứng minh thành công.