Cho hình bình hành ABCD. Vẽ ở ngoài hình bình hành các hình vuông có cạnh theo thứ tự là AB, BC, CD, DA có tâm đối xứng là E, F, G, H . Chứng minh rằng tam giác HAE = tam giác FBE 

Để giải bài toán trên, ta cần sử dụng một vài định lý về hình học và tính chất của hình bình hành, hình vuông.

### a) Chứng minh rằng tam giác HAE = tam giác FBE

**Bước 1: Tính chất hình bình hành**

Trong hình bình hành ABCD, ta có các tính chất sau:
- AB // CD, AD // BC (cạnh đối song song).
- AB = CD và AD = BC (cạnh đối bằng nhau).
- Góc A = góc C và góc B = góc D (góc đối bằng nhau).

**Bước 2: Xác định các điểm E, F, G, H**

- E là tâm của hình vuông có cạnh là AB, với H và A lần lượt nằm ở hai đỉnh của hình vuông.
- F là tâm của hình vuông có cạnh là BC, với G và B lần lượt nằm ở hai đỉnh của hình vuông.

**Bước 3: Tính chất của hình vuông**

- Với HAE và FBE, ta có:
- AE = AB / 2 (bởi vì E là tâm của hình vuông).
- BE = BC / 2 (bởi vì F là tâm của hình vuông).
- Góc ABE = 90° (góc giữa một cạnh hình vuông và cạnh hình bình hành).

**Bước 4: So sánh hai tam giác**

Xét hai tam giác HAE và FBE, ta thấy:
- AE = BE (bằng nửa cạnh của các hình vuông).
- HA = FB (bằng cạnh của hình bình hành, bởi AB = CD và AB || CD).
- Góc AHE = Góc BFE = 90° (góc giữa đường chéo của hình vuông và cạnh hình bình hành).

Vì vậy, từ định lý tam giác đồng dạng (theo quy tắc hai cạnh và một góc), ta có:
\[
\triangle HAE \cong \triangle FBE
\]

### b) Chứng minh rằng EFGH là hình vuông

**Bước 1: Tính chất các tâm hình vuông**

- Dễ dàng nhận thấy rằng:
- EF = EA = EB (do E, F là tâm của hai hình vuông, mà AB = BC).
- GH = GA = GB (tương tự cho hình vuông ở các đầu còn lại).

**Bước 2: Chứng minh rằng góc giữa các cạnh là 90 độ**

- Góc EFG = 90° (từ định nghĩa của hình vuông).
- Góc FGH = 90° (từ định nghĩa của hình vuông).

**Bước 3: Kết luận về hình vuông**

Từ các điều trên, chúng ta có:
- Các cạnh EF, FG, GH, HE đều bằng nhau và các góc giữa các cạnh đều là 90°.
Do đó, EFGH là hình vuông.

### Kết luận

Chúng ta đã chứng minh thành công rằng tam giác HAE = tam giác FBE và EFGH là hình vuông.