Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC’ và BB’?

Để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC’ và BB’ trong hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’, trước tiên ta cần xác định tọa độ của các điểm.

Giả sử:

- Điểm A (0, 0, 0)
- Điểm B (a, 0, 0)
- Điểm C (a, 2a, 0)
- Điểm D (0, 2a, 0)
- Điểm A’ (0, 0, 3a)
- Điểm B’ (a, 0, 3a)
- Điểm C’ (a, 2a, 3a)
- Điểm D’ (0, 2a, 3a)

Bây giờ, ta sẽ xác định phương trình của hai đường thẳng AC’ và BB’.

1. Đường thẳng AC’:
- Điểm A (0, 0, 0) và điểm C’ (a, 2a, 3a)
- Vector AC’ = C’ - A = (a - 0, 2a - 0, 3a - 0) = (a, 2a, 3a)

2. Đường thẳng BB’:
- Điểm B (a, 0, 0) và điểm B’ (a, 0, 3a)
- Vector BB’ = B’ - B = (a - a, 0 - 0, 3a - 0) = (0, 0, 3a)

Bây giờ chúng ta có thể dùng công thức để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng. Khoảng cách giữa hai đường thẳng trong không gian được tính bằng công thức:

\[
d = \frac{|(\vec{AC'} \times \vec{BB'}) \cdot \vec{AB}|}{|\vec{BB'}|}
\]

- Tính \(\vec{AB}\): \(\vec{AB} = B - A = (a, 0, 0)\)

- Tính tích có hướng:
\(\vec{AC'} \times \vec{BB'} = (a, 2a, 3a) \times (0, 0, 3a)\)

\[
\vec{AC'} \times \vec{BB'} = \begin{vmatrix}
\hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\
a & 2a & 3a \\
0 & 0 & 3a
\end{vmatrix}
= \hat{i} (2a \cdot 3a - 0) - \hat{j} (a \cdot 3a - 0) + \hat{k} (0 - 0)
= (6a^2, -3a^2, 0)
\]

- Bây giờ, tính \((\vec{AC'} \times \vec{BB'}) \cdot \vec{AB}\):

\[
(6a^2, -3a^2, 0) \cdot (a, 0, 0) = 6a^2 \cdot a + (-3a^2) \cdot 0 + 0 \cdot 0 = 6a^3
\]

- Tính độ dài của \(\vec{BB'}\):
\(|\vec{BB'}| = \sqrt{(0)^2 + (0)^2 + (3a)^2} = 3a\)

Cuối cùng, thay vào công thức khoảng cách:

\[
d = \frac{|6a^3|}{3a} = 2a^2
\]

Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng AC’ và BB’ là \(2a^2\).