Để chứng minh tam giác \(AMN\) cân và tính góc \(MAN\), ta sẽ thực hiện theo các bước sau:

**Bước 1: Vẽ hình và đặt các điểm.**

Cho tam giác vuông \(ABC\) với \(A\) là đỉnh vuông. Giả sử \(AB = c\), \(AC = b\), và \(BC = a\). Ta lấy điểm \(M\) trên đoạn \(BC\) sao cho \(BM = AB = c\), và điểm \(N\) trên đoạn \(BC\) sao cho \(CN = AB = c\).

Như vậy, độ dài \(MC\) và độ dài \(BN\) lần lượt là:
\[
MC = BC - BM = a - c
\]
\[
BN = a - c
\]

Do đó, chúng ta có:
\[
BM = c, \quad CN = c
\]
và từ đây có:
\[
BN = MC = a - c
\]

**Bước 2: Chứng minh tam giác \(AMN\) cân.**

Ta có:
\[
AM = \sqrt{AB^2 + BM^2} = \sqrt{c^2 + 0^2} = c
\]

Tương tự:
\[
AN = \sqrt{AC^2 + CN^2} = \sqrt{b^2 + c^2} = b^2 + c^2
\]

Giả sử \(M\) và \(N\) là hai điểm mà \(BM = CN = c\), đồng thời \(MC = BN = a - c\).

Chúng ta để ý rằng:
\[
AM = AN
\]

Do đó, tam giác \(AMN\) cân tại \(A\).

**Bước 3: Tính góc \(MAN\).**

Xét tam giác \(AMN\), chúng ta có:
- \(AM = AN\)
- Góc \(MAN\) là góc đối diện với đáy \(MN\).

Vì tam giác vuông \(ABC\) có \( \angle A = 90^\circ\), và \(BM = CN = c\) nên ta có:
\[
M\) và \(N\) đều nằm ở cùng một khoảng trên đường thẳng \(BC\).

Ta tiến hành tính:
\[
\angle MAN = 2 \times \angle A = 2 \times 90^\circ = 180^\circ
\]

Như vậy thì kết luận:
- Tam giác \(AMN\) cân tại \(A\).
- Góc \(MAN = 90^\circ\).