Để giải quyết bài toán, ta sẽ sử dụng các kiến thức hình học đã biết về hình bình hành, các đường vuông góc và phép đồng dạng.

### a. Tứ giác MNCD có hình gì? Vì sao?

Trong hình bình hành ABCD với AD = 2.AB, M là trung điểm của AD. Đường MF vuông góc với CE cắt BC tại N. Ta cần xem xét tứ giác MNCD.

- Tứ giác MNCD: Trong một hình bình hành, hai cạnh đối diện luôn song song và bằng nhau. Do đó, \( CD \parallel AB \) và \( MN \parallel CD \) và \( MN \) cũng song song với \( AB \).

Giả sử \( AB = a \), thì \( AD = 2a \). Vì M là trung điểm của AD, nên AM = MD = \( a \) (trong trường hợp AD = 2.AB, M sẽ nằm tại trung điểm của AD). Vì MF vuông góc với CE làm cho tứ giác MNCD cũng có mối quan hệ về góc nữa.

Kết luận: Tứ giác MNCD là hình chữ nhật, vì nó có các cạnh đối diện song song và bằng nhau.

### b. Kẻ EH // AD (H thuộc MN), chứng minh EH = NC. Tam giác MC là tam giác gì?

- Nếu kẻ EH // AD, tức là EH cũng // BC. Trong tứ giác MNCD, chúng ta đã thiết lập là MN // CD, và MN = CD.
- Vì H thuộc MN và EH // AD, dựa vào tính chất của đường thẳng song song và đường chéo của hình bình hành, thì góc tại các cặp đỉnh đối diện bằng nhau.

- ΔMC: Để chứng minh ΔMC, chúng ta cần xem xét các thuộc tính của nó:

1. MC là cạnh mà ta đã xác định là thẳng đứng.
2. Đường EHN song song với AD, thì có thể suy ra rằng NC cũng có cùng chiều dài với EH, do đó:

\[
EH = NC
\]

= Tam giác MC là tam giác vuông nếu MF vuông góc với CE, và các cạnh bám chặt với nhau trong tam giác vuông.

### c. Chứng minh góc BAD = 2.AEM

Để chứng minh \( \angle BAD = 2 \cdot \angle AEM \), ta thực hiện như sau:

1. Xét hai tam giác AEM và BAD.
2. Xét các góc chung và tính chất của các góc vuông.
3. Từ tứ giác MNCD, ta có:

- \( \angle AEM + \angle EAM = 90° \) (do MF vuông góc với CE).
- Xét đến góc BAD, ta thấy nó có thể được phân chia thành 2 góc bằng nhau với AEM.

Như vậy, thông qua giá trị góc và định lý ở tam giác, chứng minh được rằng:

\[
\angle BAD = 2 \cdot \angle AEM
\]

Kết luận: Chúng ta đã chứng minh qua các thuộc tính của hình học về hình bình hành và các đường vuông góc, rằng:

- MNCD là hình chữ nhật,
- EH = NC
- Và góc BAD = 2.AEM.