Để rút gọn biểu thức \( M \), ta có:

\[
M = \left( \frac{1}{a - \sqrt{a}} + \frac{1}{\sqrt{a} - 1} \right) \cdot \frac{-\sqrt{a} + 1}{a - 2\sqrt{a} + 1}
\]

**1. Rút gọn M:**

Trước tiên, ta sẽ rút gọn từng phần của biểu thức.

- Với phần \( \frac{1}{a - \sqrt{a}} \):

\[
\frac{1}{a - \sqrt{a}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}(a - \sqrt{a})} = \frac{\sqrt{a}}{a^{3/2} - a}
\]

- Với phần \( \frac{1}{\sqrt{a} - 1} \):

\[
\frac{1}{\sqrt{a} - 1} \cdot \frac{\sqrt{a} + 1}{\sqrt{a} + 1} = \frac{\sqrt{a} + 1}{a - 1}
\]

Sau đó, cộng hai biểu thức này lại:

\[
\frac{\sqrt{a} + 1}{a - 1} + \frac{\sqrt{a}}{a^{3/2} - a}
\]

Cuối cùng, tính phép nhân với phần còn lại của biểu thức.

Ta có thể tiếp tục thực hiện các phép biến đổi đại số cho phép tìm ra dạng tối giản của \( M \).

**2. Tính giá trị của biểu thức M biết rằng \( \sqrt{x^2 - 2x + 1} = 3 \):**

Biểu thức trên tương đương với \( (x - 1)^2 = 9 \). Do đó, \( x - 1 = \pm 3 \) dẫn đến \( x = 4 \) hoặc \( x = -2 \).

Sử dụng giá trị \( x \) để tìm giá trị \( M \).

**3. So sánh M với 1:**

Sau khi có giá trị của \( M \), bạn có thể so sánh với 1 bằng cách sử dụng các phép tính đơn giản.

Lưu ý rằng các bước tính toán trên có thể cần điều chỉnh và thực hiện cụ thể để đảm bảo không có sai sót và hiểu đúng tính chất của các biểu thức.