Để giải phương trình \( p^2 - q^2 - 12 = p - 7q \), ta có thể chuyển đổi và sắp xếp lại như sau:

1. Đưa tất cả các phần tử sang một bên:
\[
p^2 - q^2 - p + 7q - 12 = 0
\]

2. Nhóm các hạng tử lại với nhau:
\[
p^2 - p - (q^2 - 7q + 12) = 0
\]

Bây giờ ta giải phương trình bậc hai theo \( p \):
\[
p^2 - p - (q^2 - 7q + 12) = 0
\]
Áp dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai:
\[
p = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4(q^2 - 7q + 12)}}{2}
\]

Ta cần tìm các giá trị nguyên tố của \( p \) và \( q \). Bây giờ tính biểu thức dưới dấu căn:
\[
1 + 4(q^2 - 7q + 12) = 4q^2 - 28q + 49
\]
Ta cần \( 4q^2 - 28q + 49 \) là một số hoàn hảo để \( p \) là số nguyên.

Xét giá trị của \( q \) là 2, 3, 5, 7, 11, ... (các số nguyên tố), thay vào để tìm \( p \).

Thử các trường hợp:

- **Khi \( q = 2 \)**:
\[
4 \cdot 2^2 - 28 \cdot 2 + 49 = 16 - 56 + 49 = 9 \implies \sqrt{9} = 3
\]
\( p = \frac{1 \pm 3}{2} \) → \( p = 2 \) (số nguyên tố)

- **Khi \( q = 3 \)**:
\[
4 \cdot 3^2 - 28 \cdot 3 + 49 = 36 - 84 + 49 = 1 \implies \sqrt{1} = 1
\]
\( p = \frac{1 \pm 1}{2} \) → \( p = 1\) (không phải số nguyên tố)

- **Khi \( q = 5 \)**:
\[
4 \cdot 5^2 - 28 \cdot 5 + 49 = 100 - 140 + 49 = 9 \implies \sqrt{9} = 3
\]
\( p = \frac{1 \pm 3}{2} \) → \( p = 2\) (số nguyên tố)

- **Khi \( q = 7 \)**:
\[
4 \cdot 7^2 - 28 \cdot 7 + 49 = 196 - 196 + 49 = 49 \implies \sqrt{49} = 7
\]
\( p = \frac{1 \pm 7}{2} \) → \( p = 4 \) (không phải số nguyên tố)

Sau khi thử qua các giá trị, ta thấy cặp nghiệm nguyên tố là:

**Kết quả**: \( (p, q) = (2, 2) \) và \( (2, 5) \), có thể có nhiều cặp nhưng đây là một số ví dụ minh họa.