Để giải phương trình \( \sin x = \cos x \), chúng ta có thể sử dụng kiến thức về các tỉ số giữa các hàm lượng giác. Hãy viết lại phương trình như sau:

\[
\tan x = 1
\]

Các nghiệm của phương trình này là:

\[
x = \frac{\pi}{4} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}
\]

Bây giờ, chúng ta cần tìm các giá trị của \( k \) sao cho \( x \) nằm trong đoạn \([-5\pi; 10\pi]\).

1. Tìm nghiệm đầu tiên:
- Khi \( k = -5 \):
\[
x = \frac{\pi}{4} - 5\pi = \frac{\pi}{4} - \frac{20\pi}{4} = -\frac{19\pi}{4}
\]
- Khi \( k = -4 \):
\[
x = \frac{\pi}{4} - 4\pi = \frac{\pi}{4} - \frac{16\pi}{4} = -\frac{15\pi}{4}
\]
- Khi \( k = -3 \):
\[
x = \frac{\pi}{4} - 3\pi = \frac{\pi}{4} - \frac{12\pi}{4} = -\frac{11\pi}{4}
\]
- Khi \( k = -2 \):
\[
x = \frac{\pi}{4} - 2\pi = \frac{\pi}{4} - \frac{8\pi}{4} = -\frac{7\pi}{4}
\]
- Khi \( k = -1 \):
\[
x = \frac{\pi}{4} - \pi = \frac{\pi}{4} - \frac{4\pi}{4} = -\frac{3\pi}{4}
\]
- Khi \( k = 0 \):
\[
x = \frac{\pi}{4}
\]
- Khi \( k = 1 \):
\[
x = \frac{\pi}{4} + \pi = \frac{\pi}{4} + \frac{4\pi}{4} = \frac{5\pi}{4}
\]
- Khi \( k = 2 \):
\[
x = \frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{\pi}{4} + \frac{8\pi}{4} = \frac{9\pi}{4}
\]
- Khi \( k = 3 \):
\[
x = \frac{\pi}{4} + 3\pi = \frac{\pi}{4} + \frac{12\pi}{4} = \frac{13\pi}{4}
\]
- Khi \( k = 4 \):
\[
x = \frac{\pi}{4} + 4\pi = \frac{\pi}{4} + \frac{16\pi}{4} = \frac{17\pi}{4}
\]
- Khi \( k = 5 \):
\[
x = \frac{\pi}{4} + 5\pi = \frac{\pi}{4} + \frac{20\pi}{4} = \frac{21\pi}{4}
\]

Giờ chúng ta kiểm tra lại các nghiệm trong đoạn \([-5\pi, 10\pi]\):

- Các nghiệm từ \( k = -5 \) đến \( k = 5 \) sẽ là:
- \( -\frac{19\pi}{4} \) (k=-5)
- \( -\frac{15\pi}{4} \) (k=-4)
- \( -\frac{11\pi}{4} \) (k=-3)
- \( -\frac{7\pi}{4} \) (k=-2)
- \( -\frac{3\pi}{4} \) (k=-1)
- \( \frac{\pi}{4} \) (k=0)
- \( \frac{5\pi}{4} \) (k=1)
- \( \frac{9\pi}{4} \) (k=2)
- \( \frac{13\pi}{4} \) (k=3)
- \( \frac{17\pi}{4} \) (k=4)
- \( \frac{21\pi}{4} \) (k=5)

Nghiệm của \( k = 5 \) là \( \frac{21\pi}{4} = 5.25\pi \), ngoài đoạn \([−5π;10π]\).

Vậy các nghiệm trong đoạn \([-5\pi, 10\pi]\) là:

\[
x \in \left\{-\frac{19\pi}{4}, -\frac{15\pi}{4}, -\frac{11\pi}{4}, -\frac{7\pi}{4}, -\frac{3\pi}{4}, \frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}, \frac{9\pi}{4}, \frac{13\pi}{4}, \frac{17\pi}{4}\right\}
\]