Để giải phương trình \((x-2)^2 - (x-1)(x+1) = 0\), ta sẽ giải từng thành phần trong phương trình.

Đầu tiên, ta tính giá trị của \((x-2)^2\):
\[
(x-2)^2 = x^2 - 4x + 4
\]

Tiếp theo, ta tính giá trị của \((x-1)(x+1)\):
\[
(x-1)(x+1) = x^2 - 1
\]

Bây giờ thay hai giá trị này vào phương trình ban đầu:
\[
x^2 - 4x + 4 - (x^2 - 1) = 0
\]
Rút gọn phương trình:
\[
x^2 - 4x + 4 - x^2 + 1 = 0
\]
\[
-4x + 5 = 0
\]
Chuyển hạng tử:
\[
4x = 5
\]
Cuối cùng, ta tìm giá trị của \(x\):
\[
x = \frac{5}{4}
\]

Vậy nghiệm của phương trình là:
\[
\boxed{\frac{5}{4}}
\]