Chúng ta sẽ đi từng phần một để chứng minh các điều cần chứng minh trong tam giác ABC với các điểm khởi đầu đã cho.

### a) Chứng minh OD = OE = OF

Ta có O là giao điểm của hai phân giác góc B và C, vì vậy:

- Gọi \( OA \) là phân giác của góc \( A \).
- Gọi \( \alpha = \angle BOC \), theo phương trình phân giác góc ta có:
\[
\frac{AB}{AC} = \frac{BD}{DC} \quad \text{(1)}
\]
- Tương tự, từ tam giác \( AOB \) và \( AOC \):
\[
\frac{AO}{OD} = \frac{AB}{AC} \quad \text{(2)}
\]
Từ (1) và (2), suy ra \( OD = OE = OF \).

### b) Chứng minh góc DOB = góc MOC

Ta có hai tam giác \( AOB \) và \( AOC \) chia thành hai góc độ như sau:

- Do \( O \) là giao điểm của các phân giác, ta có:
\[
\angle AOB = \angle AOC
\]
- Có \( M \) trên đường thẳng \( BC \). Do đó, từ tính chất góc phân giác, ta có:
\[
\angle DOB = \angle AOB = \angle MOC
\]
Vì vậy, ta có \( \angle DOB = \angle MOC \).

### c) Chứng minh M'N = BM' + NC

- Kẻ đường thẳng song song với \( BC \) đi qua \( O \) cắt \( AB \) tại \( M' \) và \( AC \) tại \( N \).
- Ta có hai đường thẳng song song \( M'N \) và \( BC \). Do tính chất của đường thẳng song song, ta có:
\[
\frac{BM'}{M'N} = \frac{AB}{AC} \quad \text{và} \quad \frac{NC}{M'N} = \frac{AC}{AB}
\]
Do đó, ta có:
\[
M'N = BM' + NC
\]

### Kết luận

- Ta đã chứng minh được:
- \( OD = OE = OF \)
- \( \angle DOB = \angle MOC \)
- \( M'N = BM' + NC \)

Tất cả các khẳng định đều đúng.