Để giải phương trình lượng giác \( \sin x = -\frac{2}{3} \), ta cần tìm các giá trị của \( x \) thoả mãn điều kiện này.

1. **Xác định miền giá trị**: Hàm số sin chỉ nhận giá trị trong khoảng [-1, 1]. Vì vậy, -2/3 là giá trị hợp lệ.

2. **Tìm ra góc chính**: Để tìm ra các giá trị của \( x \), trước tiên chúng ta cần tìm ra góc chính. Tham khảo bảng sin, chúng ta biết rằng \( \sin^{-1}\left(-\frac{2}{3}\right) \) sẽ cho ra một góc trong khoảng [-π/2, π/2]. Sử dụng máy tính hoặc các công cụ hỗ trợ để tìm giá trị này. Thường thì giải pháp sẽ ra một giá trị khoảng:

\[
x_0 = \sin^{-1}\left(-\frac{2}{3}\right) \approx -0.7297 \text{ rad }\approx -41.81^\circ
\]

3. **Sử dụng chu kỳ hàm sin**: Hàm sin có chu kỳ \( 2\pi \), và có các giá trị \( x \) ứng với sin âm ở 3 góc trong mỗi chu kỳ:
- Góc trong phần bẳng: \( x = 2k\pi + x_0 \)
- Góc trong phần ba: \( x = (2k + 1)\pi - x_0 \)

Trong đó \( k \) là một số nguyên bất kỳ.

4. **Giá trị tổng quát**: Vì \( x_0 \) là góc chính chứa giá trị sin trực tiếp, ta có được hai tập giá trị sau:

\[
x = 2k\pi - 0.7297 \quad (k \in \mathbb{Z})
\]
\[
x = (2k + 1)\pi + 0.7297 \quad (k \in \mathbb{Z})
\]

Thay đổi \( k \) sẽ cho chúng ta các nghiệm trong các khoảng khác nhau.

**Kết luận**: Các nghiệm của phương trình \( \sin x = -\frac{2}{3} \) có dạng:

\[
x = 2k\pi - 0.7297 \quad \text{và} \quad x = (2k + 1)\pi + 0.7297 \quad (k \in \mathbb{Z})
\]