Để giải bài toán này, chúng ta cần tìm tập hợp \( A \) và \( B \) rồi xác định điều kiện để giao của hai tập hợp \( A \cap B \) khác rỗng.

### 1. Xác định tập hợp A:

Tập hợp \( A = [2m + 1; m + 4] \).

Để \( A \) không rỗng, ta cần điều kiện:
\[
2m + 1 \leq m + 4.
\]
Giải bất phương trình này:
\[
2m - m \leq 4 - 1 \\
m \leq 3.
\]
Vậy \( A \) khác rỗng khi \( m \leq 3 \).

### 2. Xác định tập hợp B:

Tập hợp \( B = \mathbb{R} \setminus (-\infty, -1) \cup (5; +\infty) \) có thể viết lại:
\[
B = [-1, 5].
\]
B nên kiểm tra xem tập này có rỗng hay không:
Tập B không rỗng.

### 3. Xác định điều kiện giao A và B khác rỗng:

Để \( A \cap B \neq \emptyset \), tức là:
\[
A \cap B = [2m+1; m+4] \cap [-1; 5].
\]
Ta cần kiểm tra sự giao nhau giữa các tập hợp trên.

* Xác định các điểm:
- \( 2m + 1 \) và \( m + 4 \) phải nằm trong môi trường của \([-1, 5]\).

- **Điều kiện 1:**
\[
2m + 1 \leq 5 \Rightarrow 2m \leq 4 \Rightarrow m \leq 2.
\]

- **Điều kiện 2:**
\[
m + 4 \geq -1 \Rightarrow m \geq -5.
\]

### 4. Tập hợp kết quả:

Từ cả các điều kiện trên, ta có:
- Từ \( A \): \( m \leq 3 \).
- Từ \( B \): \( m \leq 2 \) và \( m \geq -5 \).

Kết hợp lại, ta có:
\[
-5 \leq m \leq 2.
\]

Vậy tất cả các giá trị thực của \( m \) để \( A \cap B \neq \emptyset \) là:
\[
[-5, 2].
\]