Để tính giá trị của biểu thức \( A = (a+b) - (a-c) + (b+d) - (c-d) \) với các giá trị \( a = \frac{1}{2}, b = -\frac{2}{3}, c = \frac{1}{4}, d = \frac{5}{6} \), chúng ta sẽ thay thế từng giá trị vào biểu thức.

1. Tính \( a + b \):
\[
a + b = \frac{1}{2} - \frac{2}{3} = \frac{3}{6} - \frac{4}{6} = -\frac{1}{6}
\]

2. Tính \( a - c \):
\[
a - c = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{2}{4} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4}
\]

3. Tính \( b + d \):
\[
b + d = -\frac{2}{3} + \frac{5}{6} = -\frac{4}{6} + \frac{5}{6} = \frac{1}{6}
\]

4. Tính \( c - d \):
\[
c - d = \frac{1}{4} - \frac{5}{6} = \frac{3}{12} - \frac{10}{12} = -\frac{7}{12}
\]

Bây giờ thay vào biểu thức \( A \):
\[
A = (-\frac{1}{6}) - \frac{1}{4} + \frac{1}{6} - (-\frac{7}{12})
\]

Chúng ta sẽ tính từng phần của biểu thức. Đầu tiên, cộng các số hạng lại:
\[
A = -\frac{1}{6} - \frac{1}{4} + \frac{1}{6} + \frac{7}{12}
\]

Khi thêm hoặc bớt các phân số, cần quy đồng:
- Quy đồng \( -\frac{1}{6} \) và \( \frac{1}{6} \) thì sẽ mất đi.
- Quy đồng \( -\frac{1}{4} \) và \( \frac{7}{12} \):
- \( -\frac{1}{4} = -\frac{3}{12} \)

Vì vậy,
\[
A = -\frac{3}{12} + \frac{7}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}
\]

Kết quả cuối cùng là:
\[
\boxed{\frac{1}{3}}
\]