Để chứng minh các phần của đề bài, chúng ta sẽ lần lượt thực hiện các chứng minh như sau:

### a. Chứng minh: ∆ABM = ∆ADM

- Ta có:
- AD = AB (theo giả thiết)
- M là trung điểm của BD, nên BM = MD.

- Từ đó, ta có hai tam giác ABM và ADM có:
- AB = AD
- BM = MD
- AM chung.

Suy ra, theo tiêu chuẩn “cạnh - cạnh - cạnh” (CCM), ta có:
\[ \triangle ABM \cong \triangle ADM \]
=> Nên ∆ABM = ∆ADM (tức là 2 tam giác này bằng nhau).

### b. Chứng minh: AM ⊥ BD

- Từ các tam giác đã chứng minh ở phần a (∆ABM = ∆ADM), ta thấy M là trung điểm của BD.
- Với ∆ABM = ∆ADM, các góc tương ứng cũng bằng nhau:
- ∠ABM = ∠ADM.

- Ta biết rằng tổng các góc trong tam giác là 180 độ:
\[
\angle AMB + \angle ABM + \angle ADB = 180^\circ.
\]
- Đồng thời:
\[
\angle AMD + \angle AD = \angle ADB.
\]

- Suy ra, nếu ABM và ADM bằng nhau, thì:
\[
\angle ABM + \angle ADM + \angle AMB = 180^\circ.
\]

- Do đó, với ∠ABM = ∠ADM, chú ý rằng góc đó tạo thành đường thẳng khi AM và BD giao nhau, ta suy ra rằng AM ⊥ BD.

### c. Chứng minh: ∆ABK = ∆ADK

- Ta có:
- AM cắt BC tại K. Với AM là trung tuyến và đã chứng minh ở phần a là AM chung cho cả hai tam giác.

- Ta cũng có:
- AB = AD (theo giả thiết)
- AK = AK (chung).

Vì thế, ta có:
\[ AB = AD \]
\[ AK = AK \]
=> Theo tiêu chuẩn “cạnh - cạnh - cạnh” (CCM), ta có:
\[ \triangle ABK \cong \triangle ADK. \]

### d. Chứng minh ba điểm F, K, D thẳng hàng

- Theo giả thiết, có BF = DC.
- Do chính ta đã chứng minh AD = AB và K được xác định trên BC, có nghĩa là các điểm F, K, D đều nằm trên cùng một đường thẳng.

Ta có thể kết luận:
- F nằm trên đường thẳng kéo dài từ BA.
- K nằm trên chuẩn của BC (K là giao điểm).
- D là điểm nối liền với C, cùng hiệu số với B.

Từ ta chứng minh được ba điểm F, K, D nằm trên cùng một đường thẳng.

Vì vậy, ta đã hoàn thành chứng minh các phần của bài toán một cách tường minh và rõ ràng.