Để chứng minh BD là đường trung trực của AC trong tứ giác ABCD với các điều kiện \( AB = BC \) và \( CD = DA \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. **Ký hiệu:** Đặt \( O \) là giao điểm của BD và AC.

2. **Chứng minh AO = OC:**
- Xét tam giác \( ABD \) và \( CDB \).
- Ta có:
- \( AB = BC \) (theo giả thiết).
- \( CD = DA \) (theo giả thiết).
- \( BD \) là cạnh chung.
- Do đó, ta có \( \triangle ABD \cong \triangle CDB \) (critéri cạnh-cạnh-cạnh).
- Từ đó, suy ra \( AO = OC \) (cạnh tương ứng).

3. **Chứng minh góc BAD = góc CBD:**
- Từ hai tam giác đồng dạng, ta có \( \angle ABD = \angle CDB \).
- Do \( AB = BC \) và \( CD = DA \), suy ra \( \angle ADB = \angle CDB \).
- Kết luận rằng \( \angle BAD = \angle CBD \).

4. **Kết luận:**
- Từ hai bằng chứng trên, ta thấy rằng \( A \) và \( C \) đối xứng qua BD, tức là BD là đường trung trực của AC.

**Phần b:** Cho \( \angle B = 100^\circ \) và \( \angle D = 80^\circ \).

1. **Tính \( \angle A \) và \( \angle C \):**
- Ta biết tổng các góc trong tứ giác là \( 360^\circ \):
\[
\angle A + \angle B + \angle C + \angle D = 360^\circ
\]
- Thay giá trị của các góc đã cho:
\[
\angle A + 100^\circ + \angle C + 80^\circ = 360^\circ
\]
- Hay:
\[
\angle A + \angle C + 180^\circ = 360^\circ
\]
- Suy ra:
\[
\angle A + \angle C = 180^\circ
\]

Vì \( BD \) là đường trung trực của AC, hai góc \( A \) và \( C \) là hai góc đối diện và tổng của chúng bằng \( 180^\circ \) chứng tỏ chúng là góc phụ.