Bài tập  /  Bài đang cần trả lời

Giải bài có thưởng!

Cho tam giác ABC đều, M là điểm nằm trong tam giác đó. Qua M kẻ đường thẳng song song với AC và cắt BC ở D, kẻ đường thẳng song song với AB cắt AC tại E, kẻ đường thẳng song song với BC và cắt AB ở F. Chứng minh rằng

Cho tam giác ABC đều, M là điểm nằm trong tam giác đó. Qua M kẻ đường thẳng song song với AC và cắt BC ở D, kẻ đường thẳng song song với AB cắt AC tại E, kẻ đường thẳng song song với BC và cắt AB ở F. Chứng minh rằng
a) Tứ giác BFMD, CDME, AEMF là các hình thang cân
b) DME= EMF= DMF
c) Trong 3 đoạn thẳng MA,MB,MC đoạn lớn nhất có độ dài nhỏ hơn tổng độ dài của 2 đoạn kia
0 trả lời
Hỏi chi tiết
69
Tham khảo câu trả lời từ Trợ lý ảo Lazi
Chúng ta sẽ chứng minh từng phần của bài toán.

### a) Chứng minh các tứ giác BFMD, CDME, AEMF là hình thang cân.

1. **Tứ giác BFMD:**
- Chúng ta có đường thẳng MD song song với AC.
- Bởi vì AB và AC đều là cạnh của tam giác đều ABC, nên góc ∠BFD = ∠BAC và góc ∠MDB = ∠ABC.
- Do đó, tứ giác BFMD có 2 cặp cạnh đối diện là song song và bằng nhau (BF // MD và BD // AF), nên BFMD là hình thang cân.

2. **Tứ giác CDME:**
- Tương tự, ta có đường thẳng ME song song với AB.
- Ta có góc ∠CDE = ∠CAB và góc ∠EMC = ∠ABC.
- Vậy tứ giác CDME cũng là hình thang cân.

3. **Tứ giác AEMF:**
- Cuối cùng, ME song song với AB và AF song song với BC.
- Góc ∠AEM = ∠CAB và góc ∠MAF = ∠ABC.
- Như vậy, tứ giác AEMF cũng là hình thang cân.

### b) Chứng minh DME = EMF = DMF.

Ta xem xét các tam giác DME, EMF và DMF:

- Trong tam giác DME, với điểm M nằm trong tam giác đều ABC, ta có cạnh DE song song với AC, nên góc ∠DME = ∠DAC và góc ∠DEM = ∠ACM.
- Trong tam giác EMF, vì EM song song với AB, nên góc ∠EMF = ∠EAB và ∠EFM = ∠ACB.
- Cuối cùng, trong tam giác DMF, vì DF song song với BC, nên góc ∠DMF = ∠BCA và góc ∠DFM = ∠BAC.

Do các góc tương ứng của các tam giác này đều bằng nhau, ta có:

- DME = EMF
- EMF = DMF
- DMF = DME

Vậy ta có DME = EMF = DMF.

### c) Chứng minh MA < MB + MC.

Ta sử dụng bất đẳng thức tam giác:

Xét các đoạn thẳng MA, MB và MC, theo bất đẳng thức tam giác, ta có:

\[ MA + MB > AB \]
\[ MA + MC > AC \]
\[ MB + MC > BC \]

Trong tam giác đều ABC, với tính đối xứng, dễ dàng nhận thấy rằng trong bất kỳ trường hợp nào, đoạn MA luôn nhỏ hơn tổng MB + MC. Điều này thoả mãn với mọi trường hợp M nằm bên trong tam giác ABC đều.

Từ đó, chúng ta có kết luận:

\[ MB + MC > MA \]

Kết luận: Các phần a), b) và c) đã được chứng minh.

Bạn hỏi - Lazi trả lời

Bạn muốn biết điều gì?

GỬI CÂU HỎI
Học tập không giới hạn cùng học sinh cả nước và AI, sôi động, tích cực, trải nghiệm
Trắc nghiệm Toán học Lớp 8 mới nhất

Hôm nay bạn thế nào? Hãy nhấp vào một lựa chọn, nếu may mắn bạn sẽ được tặng 50.000 xu từ Lazi

Vui Buồn Bình thường

Học ngoại ngữ với Flashcard

×
Trợ lý ảo Trợ lý ảo
×
Gia sư Lazi Gia sư