Cho tam giác ABC đều, M là điểm nằm trong tam giác đó. Qua M kẻ đường thẳng song song với AC và cắt BC ở D, kẻ đường thẳng song song với AB cắt AC tại E, kẻ đường thẳng song song với BC và cắt AB ở F. Chứng minh rằng

Chúng ta sẽ chứng minh từng phần của bài toán.

### a) Chứng minh các tứ giác BFMD, CDME, AEMF là hình thang cân.

1. **Tứ giác BFMD:**
- Chúng ta có đường thẳng MD song song với AC.
- Bởi vì AB và AC đều là cạnh của tam giác đều ABC, nên góc ∠BFD = ∠BAC và góc ∠MDB = ∠ABC.
- Do đó, tứ giác BFMD có 2 cặp cạnh đối diện là song song và bằng nhau (BF // MD và BD // AF), nên BFMD là hình thang cân.

2. **Tứ giác CDME:**
- Tương tự, ta có đường thẳng ME song song với AB.
- Ta có góc ∠CDE = ∠CAB và góc ∠EMC = ∠ABC.
- Vậy tứ giác CDME cũng là hình thang cân.

3. **Tứ giác AEMF:**
- Cuối cùng, ME song song với AB và AF song song với BC.
- Góc ∠AEM = ∠CAB và góc ∠MAF = ∠ABC.
- Như vậy, tứ giác AEMF cũng là hình thang cân.

### b) Chứng minh DME = EMF = DMF.

Ta xem xét các tam giác DME, EMF và DMF:

- Trong tam giác DME, với điểm M nằm trong tam giác đều ABC, ta có cạnh DE song song với AC, nên góc ∠DME = ∠DAC và góc ∠DEM = ∠ACM.
- Trong tam giác EMF, vì EM song song với AB, nên góc ∠EMF = ∠EAB và ∠EFM = ∠ACB.
- Cuối cùng, trong tam giác DMF, vì DF song song với BC, nên góc ∠DMF = ∠BCA và góc ∠DFM = ∠BAC.

Do các góc tương ứng của các tam giác này đều bằng nhau, ta có:

- DME = EMF
- EMF = DMF
- DMF = DME

Vậy ta có DME = EMF = DMF.

### c) Chứng minh MA < MB + MC.

Ta sử dụng bất đẳng thức tam giác:

Xét các đoạn thẳng MA, MB và MC, theo bất đẳng thức tam giác, ta có:

\[ MA + MB > AB \]
\[ MA + MC > AC \]
\[ MB + MC > BC \]

Trong tam giác đều ABC, với tính đối xứng, dễ dàng nhận thấy rằng trong bất kỳ trường hợp nào, đoạn MA luôn nhỏ hơn tổng MB + MC. Điều này thoả mãn với mọi trường hợp M nằm bên trong tam giác ABC đều.

Từ đó, chúng ta có kết luận:

\[ MB + MC > MA \]

Kết luận: Các phần a), b) và c) đã được chứng minh.