Gọi chiều dài của hình chữ nhật ABCD là \( L \) và chiều rộng là \( W \). Theo đề bài, nửa chiều dài gấp rưỡi chiều rộng:

\[
\frac{L}{2} = \frac{3}{2}W
\]

Từ phương trình trên, ta có thể suy ra:

\[
L = 3W
\]

Diện tích \( S \) của hình chữ nhật ABCD được tính bằng công thức:

\[
S = L \times W
\]

Thay \( L \) vào phương trình diện tích:

\[
S = 3W \times W = 3W^2
\]

Bây giờ, ta cần tìm cách liên hệ chiều dài đường gấp khúc AEGHIKMNC với chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật. Đường gấp khúc AEGHIKMNC có độ dài 104 cm. Để tính chiều dài đường gấp khúc này, chúng ta xác định điểm A, E, G, H, I, K, M, N, C như sau:

- A đến E: chiều rộng \( W \)
- E đến G: chiều dài \( L = 3W \)
- G đến H: chiều rộng \( W \)
- H đến I: chiều dài \( L = 3W \)
- I đến K: chiều rộng \( W \)
- K đến M: chiều dài \( L = 3W \)
- M đến N: chiều rộng \( W \)
- N đến C: chiều dài \( L = 3W \)

Tính tổng chiều dài đường gấp khúc:

\[
AE + EG + GH + HI + IK + KM + MN + NC = W + 3W + W + 3W + W + 3W + W + 3W
\]

Tổng các đoạn thẳng này là:

\[
W + 3W + W + 3W + W + 3W + W + 3W = (1 + 3 + 1 + 3 + 1 + 3 + 1 + 3)W = 16W
\]

Theo đề bài, tổng chiều dài của đường gấp khúc AEGHIKMNC là 104 cm:

\[
16W = 104
\]

Giải phương trình trên, ta có:

\[
W = \frac{104}{16} = 6.5 \text{ cm}
\]

Bây giờ thay chiều rộng \( W \) vào công thức tính chiều dài \( L \):

\[
L = 3W = 3 \times 6.5 = 19.5 \text{ cm}
\]

Tính diện tích \( S \):

\[
S = L \times W = 19.5 \times 6.5
\]

Tính diện tích:

\[
S = 126.75 \text{ cm}^2
\]

Vậy diện tích hình chữ nhật ABCD là:

\[
\boxed{126.75 \text{ cm}^2}
\]