Để giải hệ phương trình này, chúng ta sẽ giải từng phương trình một.

### Phương trình 1:
\[
(\sqrt{3} \tan x + 3)(2 \cos x + 1) = 0
\]
Từ phương trình này, ta có 2 trường hợp:

1. \(\sqrt{3} \tan x + 3 = 0\):
\[
\tan x = -\frac{3}{\sqrt{3}} = -\sqrt{3}
\]
\(\tan x = -\sqrt{3}\) khi:
\[
x = \frac{5\pi}{3} + k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})
\]

2. \(2 \cos x + 1 = 0\):
\[
\cos x = -\frac{1}{2}
\]
\(\cos x = -\frac{1}{2}\) khi:
\[
x = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi \quad \text{hoặc} \quad x = \frac{4\pi}{3} + 2k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})
\]

### Phương trình 2:
\[
(\sqrt{2} \sin 2x + 2)(2 \cos 2x + \sqrt{2}) = 0
\]
Từ phương trình này, ta có 2 trường hợp:

1. \(\sqrt{2} \sin 2x + 2 = 0\):
\[
\sin 2x = -\sqrt{2}
\]
Tuy nhiên, \(\sin 2x\) không thể nhỏ hơn -1 nên trường hợp này không có nghiệm.

2. \(2 \cos 2x + \sqrt{2} = 0\):
\[
\cos 2x = -\frac{\sqrt{2}}{2}
\]
\(\cos 2x = -\frac{\sqrt{2}}{2}\) khi:
\[
2x = \frac{3\pi}{4} + 2k\pi \quad \text{hoặc} \quad 2x = \frac{5\pi}{4} + 2k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})
\]
Từ đó, ta có:
\[
x = \frac{3\pi}{8} + k\pi \quad \text{và} \quad x = \frac{5\pi}{8} + k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})
\]

### Phương trình 3:
\[
(\sin x + 1)(2 \cos 2x - \sqrt{2}) = 0
\]
Từ phương trình này, ta có 2 trường hợp:

1. \(\sin x + 1 = 0\):
\[
\sin x = -1
\]
\(\sin x = -1\) khi:
\[
x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})
\]

2. \(2 \cos 2x - \sqrt{2} = 0\):
\[
\cos 2x = \frac{\sqrt{2}}{2}
\]
\(\cos 2x = \frac{\sqrt{2}}{2}\) khi:
\[
2x = \frac{\pi}{4} + 2k\pi \quad \text{hoặc} \quad 2x = \frac{7\pi}{4} + 2k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})
\]
Từ đó, ta có:
\[
x = \frac{\pi}{8} + k\pi \quad \text{và} \quad x = \frac{7\pi}{8} + k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})
\]

### Tổng hợp nghiệm:
- Từ phương trình 1:
- \(x = \frac{5\pi}{3} + k\pi\)
- \(x = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi\)
- \(x = \frac{4\pi}{3} + 2k\pi\)

- Từ phương trình 2:
- \(x = \frac{3\pi}{8} + k\pi\)
- \(x = \frac{5\pi}{8} + k\pi\)

- Từ phương trình 3:
- \(x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi\)
- \(x = \frac{\pi}{8} + k\pi\)
- \(x = \frac{7\pi}{8} + k\pi\)

Các nghiệm từ mỗi phương trình này có thể được xem xét để tìm ra các nghiệm chung nếu cần thiết.