Để giải bài toán này, ta cần xác định số lượng hạt proton (p), nơtron (n) và electron (e) trong ion R\(^3+\) và nguyên tố R.

### Bước 1: Thiết lập các biến
- Tổng số hạt trong ion R\(^3+\): \( p + n + e = 37 \)
- Tỉ lệ số hạt electron đối với nơtron là \( \frac{e}{n} = \frac{5}{7} \)

### Bước 2: Biểu diễn số hạt trong công thức
Ta có thể biểu diễn số hạt electron theo số hạt nơtron:
- \( e = \frac{5}{7}n \)

### Bước 3: Thay số hạt electron vào phương trình tổng
Substituting into the total particles equation:
\[
p + n + \frac{5}{7}n = 37
\]
\[
p + \frac{12}{7}n = 37
\]
\[
7p + 12n = 259 \quad \text{(multiplied by 7)}
\]

### Bước 4: Xác định hạt proton và nơtron
Để tìm được giá trị của \( p \) và \( n \), ta cần chăm sóc thêm về số proton \( p \). Biết rằng ion R\(^3+\) nghĩa là R đã mất 3 electron, do đó:
\[
e_{\text{R}} = e + 3
\]
Vậy số proton \( p \) của nguyên tố R chính là số electron \( e_{\text{R}} \) trong trạng thái trung hòa:
\[
p = e + 3
\]

### Thay vào phương trình
Bây giờ, thay \( p \) vào phương trình tổng:
\[
(e + 3) + n + e = 37
\]
\[
2e + n + 3 = 37
\]
\[
2e + n = 34
\]

### Bước 5: Kết hợp phương trình
Có hai phương trình bây giờ:
1. \( 7p + 12n = 259 \)
2. \( 2e + n = 34 \)

Từ (2), ta có:
\[
n = 34 - 2e
\]
Thay vào (1):
\[
7(e + 3) + 12(34 - 2e) = 259
\]
Giải phương trình này:
\[
7e + 21 + 408 - 24e = 259
\]
Kết hợp các hạng tử:
\[
-17e + 429 = 259
\]
\[
-17e = 259 - 429
\]
\[
-17e = -170
\]
\[
e = 10
\]

### Bước 6: Tìm số hạt nơtron và proton
Thay \( e = 10 \) vào phương trình \( n = 34 - 2e \):
\[
n = 34 - 20 = 14
\]
Thay vào phương trình tìm số proton:
\[
p = e + 3 = 10 + 3 = 13
\]

### Bước 7: Số hạt trong ion R\(^3+\) và nguyên tử R
Cuối cùng, kết quả là:
- Số proton \( p = 13 \)
- Số nơtron \( n = 14 \)
- Số electron trong nguyên tử R \( e_{\text{R}} = 10 \)

Vì vậy, trong ion R\(^3+\):
- Số electron \( e = 10 - 3 = 7 \)

### Cấu hình electron
Với \( p = 13 \), nguyên tố R là Al (nhôm). Cấu hình electron của nhôm trong trạng thái trung hòa là:
\[
\text{Cấu hình electron của R: } 1s^2 2s^2 2p^6 3s^2 3p^1
\]

Cấu hình của ion R\(^3+\):
\[
\text{Cấu hình electron của R}^{3+}: 1s^2 2s^2 2p^6 \quad \text{(mất 3 electron từ phân lớp 3s và 3p)}
\]

### Tóm tắt
- Số hạt proton (p) = 13
- Số hạt nơtron (n) = 14
- Số hạt electron (e) trong nguyên tử R = 10
- Cấu hình electron của R:\( 1s^2 2s^2 2p^6 3s^2 3p^1 \)
- Cấu hình electron của R\(^3+\): \( 1s^2 2s^2 2p^6 \)