Để chứng minh hai yếu tố trong bài toán này, chúng ta có thể làm theo các bước sau:

### a) Chứng minh M, O, P thẳng hàng và N, O, Q thẳng hàng

1. **Gọi các ký hiệu cho độ dài:**
- Gọi \( AM = CN = CP = AQ = x \).

2. **Sử dụng tính chất của hình thoi:**
- Gọi \( AB = a \), \( BC = b \).
- Từ điểm M trên AB, ta có \( MB = a - x \).
- Từ điểm N trên BC, ta có \( BN = b - x \).
- Từ điểm P trên CD, ta có \( PD = a - x \).
- Từ điểm Q trên DA, ta có \( DQ = b - x \).

3. **Tìm tọa độ của các điểm:**
- Giả thi tọa độ của O là \( O(0, 0) \).
- Tọa độ các điểm:
- \( A(-\frac{a}{2}, \frac{b}{2}) \)
- \( B(\frac{a}{2}, \frac{b}{2}) \)
- \( C(\frac{a}{2}, -\frac{b}{2}) \)
- \( D(-\frac{a}{2}, -\frac{b}{2}) \)
- \( M, N, P, Q \) được tính theo đồng dạng và tỉ lệ với các điểm A, B, C, D.

4. **Chứng minh thông qua tỷ lệ:**
- Vì O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD trong hình thoi nên O chia mỗi đường chéo thành hai đoạn thẳng có tỷ lệ giống nhau.
- Cụ thể, với M, O, P:
- Ta có tỉ lệ \( \frac{OM}{MP} = \frac{AM}{MP} \) và \( OM \parallel OP \).
- Tương tự với N, O, Q.

5. **Kết luận:**
- Kết hợp lại, chúng ta chứng minh được M, O, P, N, O, Q là các điểm thẳng hàng.

### b) Chứng minh tứ giác MNPQ là hình chữ nhật

1. **Đặc trưng của hình chữ nhật:**
- Hình chữ nhật có hai cặp cạnh đối song song và bằng nhau.

2. **Chứng minh góc vuông:**
- Từ việc M, O, P và N, O, Q đều thẳng hàng, có thể sử dụng tính chất vuông góc của các đường chéo:
- Chứng minh góc MON = 90 độ và góc POQ = 90 độ thông qua tọa độ và góc.

3. **Kết luận:**
- Nếu hai đường chéo MN và PQ vuông góc tại O và MN = PQ, điều này khẳng định tứ giác MNPQ là hình chữ nhật.

Qua các bước trên, chúng ta đã hoàn thành việc chứng minh yêu cầu của bài toán.