Để tính góc giữa đường chéo và cạnh ngắn hơn của hình chữ nhật, ta thực hiện các bước sau:

1. **Xác định chiều dài và chiều rộng**:
- Chiều dài \( a = 9 \)
- Chiều rộng \( b = 9\sqrt{3} \)

2. **Tính độ dài của đường chéo**:
\[
d = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{9^2 + (9\sqrt{3})^2} = \sqrt{81 + 243} = \sqrt{324} = 18
\]

3. **Sử dụng định nghĩa của cos để tính góc**:
\[
\cos(\theta) = \frac{b}{d}
\]
Thay các giá trị vào:
\[
\cos(\theta) = \frac{9\sqrt{3}}{18} = \frac{\sqrt{3}}{2}
\]

4. **Tìm góc \(\theta\)**:
\[
\theta = \cos^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)
\]

Góc này là:
\[
\theta = 30^\circ
\]

Vậy góc giữa đường chéo và cạnh ngắn hơn của hình chữ nhật là \(30^\circ\).