Để chứng minh bài toán này, ta sẽ tiến hành từng phần một.

### a) Chứng minh M, O, P thẳng hàng và N, O, Q thẳng hàng

1. **Xác định vị trí các điểm**:
- Theo đề bài, ta có: \( AM = CN = CP = AQ = x \) (giả sử có độ dài bằng \( x \)).
- Từ đó suy ra:
- \( MB = AB - AM = AB - x \)
- \( NC = BC - CN = BC - x \)
- \( PD = CD - CP = CD - x \)
- \( QA = DA - AQ = DA - x \)

2. **Tính chất của hình thoi**:
- Trong hình thoi \( ABCD \), ta có \( AB = BC = CD = DA \) và \( AC \perp BD \) tại điểm \( O \).

3. **Xét các đoạn thẳng**:
- Ta sẽ xem xét tam giác \( AOB \) và \( COD \):
- Trong tam giác \( AOB \), điểm \( M \) chia đoạn \( AB \) thành 2 phần tỷ lệ với \( AM \) và \( MB \).
- Tương tự, điểm \( P \) chia đoạn \( CD \) thành 2 phần tỷ lệ với \( CP \) và \( PD \).

4. **Suy luận**:
- Vì \( AM \) và \( CP \) bằng nhau, điểm \( O \) sẽ nằm trên đường thẳng nối \( M \) và \( P \).
- Tương tự, điểm \( O \) cũng sẽ nằm trên đường thẳng nối \( N \) và \( Q \).

### Kết luận phần a:
- Ta có: \( M, O, P \) thẳng hàng và \( N, O, Q \) thẳng hàng.

---

### b) Chứng minh tứ giác MNPQ là hình chữ nhật

1. **Xét các góc**:
- Khi \( M, N, P, Q \) thẳng hàng và \( O \) là trung điểm, ta có:
- \( MO \perp ON \) và \( PO \perp OQ \) từ tính chất của hình thoi và giao điểm của các đường chéo.

2. **Suy diễn về các góc**:
- Trong tứ giác \( MNPQ \), ta có các góc:
- \( \angle MON = 90^\circ \)
- \( \angle POQ = 90^\circ \)

3. **Tính chất hình chữ nhật**:
- Tứ giác có hai cặp góc vuông là hình chữ nhật. Do đó, từ các chứng minh trên ta suy ra tứ giác \( MNPQ \) chính là hình chữ nhật.

### Kết luận phần b:
- Tứ giác \( MNPQ \) là hình chữ nhật.

Như vậy, ta đã hoàn thành bài toán và chứng minh điều cần thiết như đã nêu.