Để chứng minh rằng \( A = n(3n - 1) - 3n(n - 2) \) là một số nguyên cho mọi \( n \in \mathbb{R} \), ta bắt đầu bằng cách đơn giản hóa biểu thức này.

1. **Đơn giản hóa biểu thức \( A \)**:
\[
A = n(3n - 1) - 3n(n - 2)
\]

2. **Mở rộng các hạng tử**:
\[
= n(3n) - n(1) - 3n(n) + 3n(2)
\]
\[
= 3n^2 - n - 3n^2 + 6n
\]

3. **Gộp các hạng tử lại**:
\[
= (3n^2 - 3n^2) + (-n + 6n) = 5n
\]

4. **Kết luận**:
\[
A = 5n
\]
Bởi vì 5 là một số nguyên và \( n \) là một số thực, \( 5n \) sẽ là một số nguyên nếu \( n \) là số nguyên. Do đó, \( A \) là một số nguyên với mọi \( n \in \mathbb{Z} \).

Vậy ta kết luận rằng \( A \) là số nguyên cho mọi \( n \in \mathbb{Z} \) (hay \( n \in \mathbb{R} \)).