Cho tam giác ABC có góc BAD = 60 độ, tia phân giác của góc ABC cắt AC tại E, tia phân giác của góc ABC cắt AB tại F. BE cắt CF tại I. Cmr IE = IF

Để chứng minh rằng \( IE = IF \), ta có thể sử dụng tính chất của các tia phân giác và một số công thức liên quan đến tỉ lệ cạnh trong tam giác.

Bắt đầu từ tam giác \( ABC \) với góc \( BAD = 60^\circ \). Giả sử \( D \) là điểm nằm trên cạnh \( AB \) sao cho \( \angle BAD = 60^\circ \). Gọi \( I \) là điểm giao nhau của tia phân giác \( BE \) và \( CF \).

Theo định lý phân giác:
- Đối với tam giác \( ABE \), ta có:
\[
\frac{AE}{EC} = \frac{AB}{BC}
\]
- Đối với tam giác \( ACF \), ta có:
\[
\frac{AF}{FB} = \frac{AC}{BC}
\]

Vì \( E \) và \( F \) là các điểm mà tia phân giác cắt \( AC \) và \( AB \), ta có:
\[
\frac{AE}{EC} = \frac{AF}{FB}
\]

Khi giao nhau \( BE \) và \( CF \), điểm \( I \) được tạo thành sẽ có tỉ lệ:
\[
\frac{IE}{IF} = \frac{AE \cdot AB}{AF \cdot AC}
\]

Từ đó, ta có thể nhận thấy rằng nếu \( AE:EC = AF:FB \) và bằng nhau, thì sẽ dẫn đến tỉ lệ là:
\[
\frac{IE}{IF} = 1
\]
như vậy \( IE = IF \).

Vì vậy, ta có thể khẳng định rằng \( IE = IF \).

Tóm lại, ta đã chứng minh rằng trong tam giác \( ABC \) với các yếu tố như đã mô tả, ta có \( IE = IF \).