Để tìm số tự nhiên \( a \) thỏa mãn các điều kiện:

1. \( 388 \) chia \( a \) thì dư \( 38 \).
2. \( 508 \) chia \( a \) thì dư \( 18 \).

Ta có thể viết lại các điều kiện này dưới dạng phương trình đồng dư:

1. \( 388 \equiv 38 \mod a \) \(\Rightarrow 388 - 38 = 350\) nghĩa là \( a \) phải là ước của \( 350 \).
2. \( 508 \equiv 18 \mod a \) \(\Rightarrow 508 - 18 = 490\) nghĩa là \( a \) phải là ước của \( 490 \).

Bây giờ, ta cần tìm ước chung của \( 350 \) và \( 490 \).

**Bước 1: Phân tích các số này ra thừa số nguyên tố.**

- \( 350 = 2 \times 5^2 \times 7 \)
- \( 490 = 2 \times 5 \times 7^2 \)

**Bước 2: Tìm ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT (UCLN)**

ƯCLN là:
- Số \( 2 \): Chọn \( 1 \) (thấp nhất có mặt)
- Số \( 5 \): Chọn \( 1 \) (có mặt trong cả hai)
- Số \( 7 \): Chọn \( 1 \) (mức thấp nhất)

ƯCDFN:
\[
UCLN(350, 490) = 2^1 \times 5^1 \times 7^1 = 70
\]

**Bước 3: Liệt kê các ước của \( 350 \) và \( 490 \):**
Các ước của \( 350 \): \( 1, 2, 5, 7, 10, 14, 25, 35, 50, 70, 175, 350 \)

Các ước của \( 490 \): \( 1, 2, 5, 7, 10, 14, 35, 49, 70, 98, 245, 490 \)

**Bước 4: Các ước chung là:**
- \( 1, 2, 5, 7, 10, 14, 35, 70 \)

**Giả sử \( a \) là một trong những số này, nhưng phải thoả mãn điều kiện dư.**

**Bước 5: Kiểm tra điều kiện:**

1. Cho \( a = 70 \):
- \( 388 \div 70 = 5 \) dư \( 38 \) (đúng).
- \( 508 \div 70 = 7 \) dư \( 18 \) (đúng).

Vậy số tự nhiên thỏa mãn là \( a = 70 \).