Để giải các hệ phương trình theo phương pháp đặt ẩn phụ, ta sẽ đặt các biến phụ cho \(x\) và \(y\) trong từng hệ phương trình. Dưới đây là giải chi tiết từng hệ:

### Hệ 1:
\[
\begin{cases}
\frac{2}{x-2} + \frac{1}{y+1} = 3 \\
\frac{4}{x-2} + \frac{3}{y+1} = 1
\end{cases}
\]

**Đặt ẩn phụ:**
\[
u = \frac{1}{x-2}, \quad v = \frac{1}{y+1}
\]

**Hệ phương trình mới:**
\[
\begin{cases}
2u + v = 3 \\
4u + 3v = 1
\end{cases}
\]

**Giải hệ phương trình:**
1. Từ phương trình đầu tiên: \(v = 3 - 2u\).
2. Thay vào phương trình thứ hai:
\[
4u + 3(3 - 2u) = 1 \implies 4u + 9 - 6u = 1 \implies -2u = -8 \implies u = 4.
\]
3. Thay \(u = 4\) vào \(v = 3 - 2u\):
\[
v = 3 - 8 = -5.
\]

**Trở lại với \(x\) và \(y\):**
\[
\frac{1}{x-2} = 4 \implies x - 2 = \frac{1}{4} \implies x = \frac{1}{4} + 2 = \frac{9}{4}.
\]
\[
\frac{1}{y+1} = -5 \implies y + 1 = -\frac{1}{5} \implies y = -\frac{1}{5} - 1 = -\frac{6}{5}.
\]

### Kết quả Hệ 1:
\[
(x, y) = \left(\frac{9}{4}, -\frac{6}{5}\right)
\]

---

### Hệ 2:
\[
\begin{cases}
\frac{1}{x-2} + \frac{1}{y-1} = 2 \\
\frac{2}{x-2} + \frac{3}{y-1} = 1
\end{cases}
\]

**Đặt ẩn phụ:**
\[
u = \frac{1}{x-2}, \quad v = \frac{1}{y-1}
\]

**Hệ phương trình mới:**
\[
\begin{cases}
u + v = 2 \\
2u + 3v = 1
\end{cases}
\]

**Giải hệ phương trình:**
1. Từ phương trình đầu tiên: \(v = 2 - u\).
2. Thay vào phương trình thứ hai:
\[
2u + 3(2 - u) = 1 \implies 2u + 6 - 3u = 1 \implies -u + 6 = 1 \implies u = 5.
\]
3. Thay \(u = 5\) vào \(v = 2 - u\):
\[
v = 2 - 5 = -3.
\]

**Trở lại với \(x\) và \(y\):**
\[
\frac{1}{x-2} = 5 \implies x - 2 = \frac{1}{5} \implies x = \frac{1}{5} + 2 = \frac{11}{5}.
\]
\[
\frac{1}{y-1} = -3 \implies y - 1 = -\frac{1}{3} \implies y = -\frac{1}{3} + 1 = \frac{2}{3}.
\]

### Kết quả Hệ 2:
\[
(x, y) = \left(\frac{11}{5}, \frac{2}{3}\right)
\]

---

### Hệ 3:
\[
\begin{cases}
\frac{1}{x-1} + \frac{2}{y+3} = 7 \\
\frac{3}{x-1} + \frac{4}{y+3} = 1
\end{cases}
\]

**Đặt ẩn phụ:**
\[
u = \frac{1}{x-1}, \quad v = \frac{1}{y+3}
\]

**Hệ phương trình mới:**
\[
\begin{cases}
u + 2v = 7 \\
3u + 4v = 1
\end{cases}
\]

**Giải hệ phương trình:**
1. Từ phương trình đầu tiên: \(u = 7 - 2v\).
2. Thay vào phương trình thứ hai:
\[
3(7 - 2v) + 4v = 1 \implies 21 - 6v + 4v = 1 \implies 21 - 2v = 1 \implies -2v = -20 \implies v = 10.
\]
3. Thay \(v = 10\) vào \(u = 7 - 2v\):
\[
u = 7 - 20 = -13.
\]

**Trở lại với \(x\) và \(y\):**
\[
\frac{1}{x-1} = -13 \implies x - 1 = -\frac{1}{13} \implies x = 1 - \frac{1}{13} = \frac{12}{13}.
\]
\[
\frac{1}{y+3} = 10 \implies y + 3 = \frac{1}{10} \implies y = \frac{1}{10} - 3 = -\frac{29}{10}.
\]

### Kết quả Hệ 3:
\[
(x, y) = \left(\frac{12}{13}, -\frac{29}{10}\right)
\]

---

Tóm lại, các nghiệm của ba hệ phương trình là:
1. \( (x, y) = \left(\frac{9}{4}, -\frac{6}{5}\right) \)
2. \( (x, y) = \left(\frac{11}{5}, \frac{2}{3}\right) \)
3. \( (x, y) = \left(\frac{12}{13}, -\frac{29}{10}\right) \)