Để biểu thức \( \frac{x^2 + 5x + 9}{x - 3} \) là nguyên, \( x - 3 \) phải chia hết cho \( x^2 + 5x + 9 \).

Chúng ta sẽ sử dụng phép chia đa thức để tìm điều kiện chia hết.

1. **Chia \( x^2 + 5x + 9 \) cho \( x - 3 \)**:
- Gọi \( P(x) = x^2 + 5x + 9 \) và \( D(x) = x - 3 \).

Bước đầu tiên là chia hệ số cao nhất: \( x^2 \div x = x \).

Nhân \( x \) với \( D(x) \):
\[
x(x - 3) = x^2 - 3x
\]

Trừ đi từ \( P(x) \):
\[
(x^2 + 5x + 9) - (x^2 - 3x) = 8x + 9
\]

Tiếp tục với phần dư \( 8x + 9 \):
- Chia \( 8x \) cho \( x \):
\[
8x \div x = 8
\]

Nhân \( 8 \) với \( D(x) \):
\[
8(x - 3) = 8x - 24
\]

Trừ đi:
\[
(8x + 9) - (8x - 24) = 33
\]

Vậy ta có:
\[
P(x) = (x + 8)(x - 3) + 33
\]

2. **Điều kiện cho \( \frac{P(x)}{D(x)} \) là nguyên**:
Để \( \frac{P(x)}{D(x)} \) là nguyên, phần dư \( 33 \) phải chia hết cho \( x - 3 \).

Do đó, \( x - 3 \) phải là ước của 33:
- Các ước của 33 là \( \pm 1, \pm 3, \pm 11, \pm 33 \).

Từ đó, có:
\[
x - 3 = \pm 1, \pm 3, \pm 11, \pm 33
\]

Giải ra ta có:
- \( x - 3 = 1 \) ---> \( x = 4 \)
- \( x - 3 = -1 \) ---> \( x = 2 \)
- \( x - 3 = 3 \) ---> \( x = 6 \)
- \( x - 3 = -3 \) ---> \( x = 0 \)
- \( x - 3 = 11 \) ---> \( x = 14 \)
- \( x - 3 = -11 \) ---> \( x = -8 \)
- \( x - 3 = 33 \) ---> \( x = 36 \)
- \( x - 3 = -33 \) ---> \( x = -30 \)

3. **Kết quả**:
Vậy các giá trị \( x \) thuộc tập hợp \( \mathbb{Z} \) để biểu thức \( \frac{x^2 + 5x + 9}{x-3} \) là nguyên là:
\[
x = 4, \, 2, \, 6, \, 0, \, 14, \, -8, \, 36, \, -30
\]