Tam giác ABC vuông ở A có đường cao AH. Kẻ HM vuông góc AB ở M rồi kẻ dài lấy MD = MH. Kẻ HN vuông góc AC ở N rồi kẻ dài lấy NE = NH

Để giải bài toán này, ta sẽ thực hiện các bước sau:

### a) So sánh AD với AE.

1. **Ghi chú các điểm liên quan**:
- Tam giác ABC vuông tại A: \( \angle A = 90^\circ \).
- Đường cao AH chia tam giác ABC thành hai tam giác vuông: AHB và AHC.
- Điểm M thuộc AB, điểm N thuộc AC, và cả hai đều lên thẳng để kẻ thêm đoạn MD và NE.

2. **Xem xét độ dài**:
- Từ định lý đường cao trong tam giác vuông:
\[
AH^2 = AM \cdot AB \quad \text{và} \quad AH^2 = AN \cdot AC
\]
- Do đó, có:
\[
AM \cdot AB = AN \cdot AC
\]

3. Sử dụng tính chất của tam giác vuông để phát hiện ra mối quan hệ giữa AD và AE.
- Chú ý rằng \( MD = MH \) và \( NE = NH \) cũng tạo thành các đoạn cao tương ứng với tam giác AHB và AHC.

4. **So sánh**:
- Ta có thể thấy rằng \( AD \) được coi là chiều cao tương ứng với đáy AB, và \( AE \) là chiều cao tương ứng với đáy AC.
- Như vậy, nếu \( AD \) và \( AE \) có chiều cao tương đương với các đường cao thì sẽ so sánh được.

### b) Chứng minh rằng \( D, A, E \) thẳng hàng.

1. **Chứng minh bằng phương pháp hình học**:
- Nếu \( MD \) và \( NE \) được kẻ vuông góc từ chân đường cao AH xuống các cạnh AB và AC, ta có thể sử dụng định nghĩa của chiều cao và đường trung bình.
- \( D \) và \( E \) nằm trên đường thẳng kẻ từ \( H \) vuông góc xuống AB và AC, do đó \( D, A, E \) sẽ nằm trên cùng một đường thẳng.

2. **Kết luận**:
- \( D, A, E \) thẳng hàng và các đoạn được kẻ ra tạo thành một đường thẳng phân chia các tam giác đều nhau.

### Tóm tắt:

- Qua các tính chất về tam giác vuông và vị trí của các điểm, ta có thể so sánh độ dài của \( AD \) và \( AE \), cũng như chứng minh rằng ba điểm \( D, A, E \) thẳng hàng.