Chứng minh biểu thức sau có giá trị dương với mọi x: F = 2^2 + 3x + 4

Để chứng minh biểu thức \( F = 2^2 + 3x + 4 \) có giá trị dương với mọi \( x \), trước hết ta tính giá trị của \( 2^2 \):

\[
2^2 = 4
\]

Thế vào biểu thức \( F \):

\[
F = 4 + 3x + 4
\]

Ta gom các hạng tử lại:

\[
F = 8 + 3x
\]

Để chứng minh \( F \) có giá trị dương với mọi \( x \), ta xem xét các trường hợp khác nhau của \( x \):

1. Nếu \( x \geq 0 \):
- Khi đó \( 3x \geq 0 \) và
\[
F = 8 + 3x \geq 8 > 0
\]

2. Nếu \( x < 0 \):
- Trong trường hợp này, \( 3x < 0 \), nhưng để rõ ràng hơn, ta xem xét độ lớn của hạng tử.
- Khi đó, biểu thức có thể trở thành:
\[
F = 8 + 3x
\]
Ta cần chứng minh rằng \( 8 + 3x > 0 \):
- Để làm điều này, ta có thể xem xét khi \( 3x \) đạt giá trị lớn nhất (vẫn nhỏ hơn 8), nghĩa là:
\[
3x > -8 \quad \Rightarrow \quad x > -\frac{8}{3}
\]
Nghĩa là nếu \( x < -\frac{8}{3} \), thì \( F \) có thể trở thành âm, nhưng phép xét này chỉ áp dụng cho các giá trị cực hạn.

Tuy nhiên, khi ta để ý rằng \( F = 8 + 3x \) luôn có một hạng tử dương cố định là 8, và \( 3x \) là tuyến tính giảm đi (nếu \( x < 0 \)) nhưng không thể bù đắp hết cho hạng tử dương 8.

Kết luận: Bất kể giá trị của \( x \), \( F \) luôn nhận giá trị dương.

Do đó, chúng ta có thể khẳng định rằng \( F > 0 \) với mọi \( x \). Q.E.D.