Để phương trình \(4x^2 + (m^2 + 2m - 15)x + (m + 1)^2 - 20 = 0\) có hai nghiệm phân biệt, ta cần điều kiện rằng

\[
\Delta > 0,
\]

trong đó \(\Delta\) là biệt thức của phương trình:

\[
\Delta = b^2 - 4ac.
\]

Với \(a = 4\), \(b = m^2 + 2m - 15\), \(c = (m + 1)^2 - 20\), ta có:

\[
\Delta = (m^2 + 2m - 15)^2 - 4 \cdot 4 \cdot ((m + 1)^2 - 20).
\]

**Bước 1: Tính \(\Delta\)**

Thay các giá trị lên và tính toán:

\[
(m^2 + 2m - 15)^2 - 16((m + 1)^2 - 20) > 0.
\]

Rút gọn \(c\):

\[
(m + 1)^2 - 20 = m^2 + 2m + 1 - 20 = m^2 + 2m - 19.
\]

Sau đó ta thay vào công thức \(\Delta\):

\[
\Delta = (m^2 + 2m - 15)^2 - 16(m^2 + 2m - 19).
\]

**Bước 2: Áp dụng điều kiện của nghiệm**

Từ yêu cầu \(x_1 + x_2 + 2019 = 0\) ta có:

\[
x_1 + x_2 = -2019.
\]

Theo công thức tính tổng nghiệm:

\[
x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \implies -\frac{m^2 + 2m - 15}{4} = -2019.
\]

Giải phương trình:

\[
\frac{m^2 + 2m - 15}{4} = 2019 \implies m^2 + 2m - 15 = 8076 \implies m^2 + 2m - 8091 = 0.
\]

**Bước 3: Giải phương trình bậc 2**

Áp dụng công thức nghiệm của phương trình bậc 2:

\[
m = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8091)}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 32364}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{32368}}{2}.
\]

Tính căn bậc hai:

\[
\sqrt{32368} = 180.33 \text{ (xấp xỉ)},
\]

vậy:

\[
m \approx \frac{-2 \pm 180.33}{2}.
\]

Tính hai giá trị \(m\):

1. \(m_1 \approx \frac{178.33}{2} \approx 89.165\),
2. \(m_2 \approx \frac{-182.33}{2} \approx -91.165\).

**Bước 4: Đảm bảo có hai nghiệm phân biệt**

Ta trở lại điều kiện \(\Delta > 0\) và kiểm tra từng giá trị của \(m\) vừa tìm được để đảm bảo điều kiện này.

Cuối cùng, các giá trị của \(m\) để phương trình có hai nghiệm phân biệt là \(m \approx 89.165\) và \(m \approx -91.165\).