Để tính biểu thức \( 4 \frac{5}{9} : \left( -\frac{5}{7} \right) + 5 \frac{4}{9} : \left( -\frac{5}{7} \right) \), ta cần thực hiện mỗi phép chia và sau đó cộng kết quả lại.

**Bước 1:** Chuyển đổi các số hỗn hợp thành phân số.

- \( 4 \frac{5}{9} = \frac{4 \cdot 9 + 5}{9} = \frac{36 + 5}{9} = \frac{41}{9} \)
- \( 5 \frac{4}{9} = \frac{5 \cdot 9 + 4}{9} = \frac{45 + 4}{9} = \frac{49}{9} \)

**Bước 2:** Thay vào biểu thức ban đầu.

\[
\frac{41}{9} : \left( -\frac{5}{7} \right) + \frac{49}{9} : \left( -\frac{5}{7} \right)
\]

**Bước 3:** Thực hiện phép chia bằng cách nhân với nghịch đảo.

- \( \frac{41}{9} : \left( -\frac{5}{7} \right) = \frac{41}{9} \cdot \left( -\frac{7}{5} \right) = -\frac{41 \cdot 7}{9 \cdot 5} = -\frac{287}{45} \)
- \( \frac{49}{9} : \left( -\frac{5}{7} \right) = \frac{49}{9} \cdot \left( -\frac{7}{5} \right) = -\frac{49 \cdot 7}{9 \cdot 5} = -\frac{343}{45} \)

**Bước 4:** Cộng hai kết quả lại.

\[
-\frac{287}{45} + \left( -\frac{343}{45} \right) = -\frac{287 + 343}{45} = -\frac{630}{45}
\]

**Bước 5:** Rút gọn phân số nếu có thể.

\[
-\frac{630}{45} = -\frac{630 \div 315}{45 \div 315} = -\frac{14}{1} = -14
\]

Kết quả cuối cùng là:

\[
\boxed{-14}
\]