Cho tam giác ABC vuông tại A đường cao AH. Đường phân giác BD cắt AH tại điểm E

Chúng ta bắt đầu với tam giác vuông \( ABC \) tại \( A \) với đường cao \( AH \). Đường phân giác \( BD \) cắt \( AH \) tại điểm \( E \).

### Phần a) Chứng minh tam giác \( ABD \) đồng dạng với tam giác \( HBE \).

Để chứng minh hai tam giác này đồng dạng, ta cần chứng minh rằng tỷ lệ giữa hai cặp cạnh tương ứng của chúng bằng nhau và góc giữa hai cạnh đó cũng bằng nhau.

1. **Xét các góc:**
- \( \angle ABD = \angle HBE \) (góc chung tại điểm \( B \)).
- \( \angle ADB = \angle BEH \) (góc vuông tại \( A \) và \( H \)).

2. **Tính chất của tam giác:**
- Tam giác \( ABD \) vuông tại \( A \).
- Tam giác \( HBE \) vuông tại \( H \).

Từ đó, ta có:

\[
\angle ADB + \angle ABD = 90^\circ
\]

\[
\angle BEH + \angle HBE = 90^\circ
\]

3. **Kết luận:**
- Vì hai cặp góc tương ứng đều bằng nhau, ta có thể kết luận rằng:

\[
\triangle ABD \sim \triangle HBE
\]

### Phần b) Chứng minh \( AB^2 = BH \cdot DC \).

Khi bạn đã chứng minh rằng các tam giác này đồng dạng, bạn có thể sử dụng tính chất tương ứng của các cạnh.

Theo định lý phân giác, chúng ta có:

\[
\frac{AB}{AH} = \frac{BH}{BE}
\]

Mà từ tam giác \( ABE \) và \( HBE \) là đồng dạng, ta có:

\[
\frac{AB}{AH} = \frac{BE}{HE}
\]

Do đó:

\[
AB \cdot HE = AH \cdot BH \quad (1)
\]

Đặt \( HE = DC \), ta có:

Từ tam giác \( HBE \), ta cũng có:

\[
\frac{BH}{HE} = \frac{AB}{AH} \implies BH \cdot AH = AB \cdot HE \quad (2)
\]

Kết hợp (1) và (2), từ đó chúng ta có:

\[
AB^2 = BH \cdot DC
\]

Vậy nên,

\[
AB^2 = BH \cdot DC
\]

Kết luận, ta đã hoàn thành bài toán: chúng ta đã chứng minh rằng tam giác \( ABD \) đồng dạng tam giác \( HBE \) và \( AB^2 = BH \cdot DC \).