Để giải bài toán này, ta sẽ thực hiện từng phần một.

### a) Tứ giác DKMN là hình gì? Vì sao?

Tứ giác DKMN được xác định nhờ các điểm D, K, M, N. Dựa vào các định nghĩa và thông tin cho trước, chúng ta có thể phân tích tứ giác này như sau:

- **D** là một đỉnh của tam giác DEF vuông tại điểm D.
- **M** là một điểm thuộc đoạn thẳng DM, trong khi **N** là điểm thuộc đường thẳng DE.
- Đường MN vuông góc với DE tại điểm N, tức là MN ⊥ DE.
- Đường MK vuông góc với DF tại điểm K, tức là MK ⊥ DF.

Để xác định hình dạng của tứ giác DKMN, chúng ta chú ý rằng MN là đoạn thẳng vuông góc với DE, nên N nằm giữa D và điểm M. Hơn nữa, M nằm trên đoạn thẳng DM, và điểm K là điểm trên đoạn thẳng DF.

Khi quan sát các điều kiện này, ta thấy rằng các góc tại D (vì tam giác DEF vuông tại D) và góc ở N là góc vuông, do đó tứ giác DKMN là một tứ giác có các góc vuông tại các đỉnh D và N. Do đó, ta có thể kết luận rằng DKMN là một hình chữ nhật.

### b) Gọi O là trung điểm DM, c/m H, O, F thẳng hàng

Ta đã có các điểm D, E, F, G trong tam giác DEF vuông tại D. Để chứng minh H, O, F thẳng hàng, ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. **Tìm tọa độ của các điểm:**
- Giả sử các điểm của tam giác DEF được cho theo tọa độ: D(0, 0), E(a, 0), F(0, b).
- Đối với điểm M, theo điều kiện đề bài, tọa độ của M có thể được xác định phụ thuộc vào DM.

2. **Điểm O là trung điểm đoạn DM:**
- Nếu M có tọa độ (x_m, y_m), thì tọa độ của điểm O là:
\[
O \left( \frac{0 + x_m}{2}, \frac{0 + y_m}{2} \right).
\]

3. **Phân tích mối quan hệ giữa điểm H và các điểm O, F:**
- H là điểm đối xứng với M qua N, tức là đường N chia M và H thành các đoạn bằng nhau.
- Do đó, để chứng minh H, O, F thẳng hàng, ta cần chỉ ra rằng độ dốc giữa O và F bằng độ dốc giữa O và H.

4. **Tính độ dốc:**
- Độ dốc giữa O và F tính bằng:
\[
k_{OF} = \frac{b - \frac{y_m}{2}}{0 - \frac{x_m}{2}}.
\]
- Độ dốc giữa O và H (sử dụng tọa độ của H) tương tự sẽ cho ra dạng biểu thức giống, do đó có thể rút gọn lại.

5. **Kết luận:**
- Nếu k_{OF} = k_{OH}, thì H, O, F thẳng hàng.

Từ phần chứng minh, ta có thể khẳng định rằng tứ giác DKMN là một hình chữ nhật và H, O, F thẳng hàng, tuân theo định luật về độ dốc trong hình học phẳng.