Chứng minh rằng với mọi số nguyên n ta có

Để chứng minh các đẳng thức cho mọi số nguyên \( n \), ta sẽ phân tích từng trường hợp một:

### a) Chứng minh \( n^3 + 3n^2 + 2n \) chia hết cho 6

Biểu thức này có thể viết lại như sau:
\[
n^3 + 3n^2 + 2n = n(n^2 + 3n + 2) = n(n + 1)(n + 2)
\]
Biểu thức \( n(n+1)(n+2) \) là tích của 3 số liên tiếp, do đó, nó luôn chia hết cho 2 và chia hết cho 3. Vậy \( n^3 + 3n^2 + 2n \) chia hết cho 6.

### b) Chứng minh \( n^3 + 6n^2 + 8n \) với \( n \) chẵn

Khi \( n \) là số chẵn, có thể viết \( n = 2k \) với \( k \) là số nguyên. Thay vào:
\[
n^3 + 6n^2 + 8n = (2k)^3 + 6(2k)^2 + 8(2k)
\]
\[
= 8k^3 + 24k^2 + 16k = 8(k^3 + 3k^2 + 2k)
\]
Biểu thức \( k^3 + 3k^2 + 2k \) là số nguyên, nên \( n^3 + 6n^2 + 8n \) chia hết cho 8.

### c) Chứng minh \( (n^2 + n - 1)^2 - 1 \) chia hết cho 24

Ta có:
\[
(n^2 + n - 1)^2 - 1 = (n^2 + n - 1 - 1)(n^2 + n - 1 + 1) = (n^2 + n - 2)(n^2 + n)
\]
Biểu thức này là tích của 2 số liên tiếp \( n^2 + n - 2 \) và \( n^2 + n \). Do đó, một trong hai số này luôn chẵn (chẵn và lẻ liên tiếp). Ngoài ra, \( n^2 + n \) có dạng:
\[
n(n + 1)
\]
có thể chia hết cho 2.

Xét \( n \) modulo 3 thì:
- Nếu \( n \equiv 0 \) hay \( n \equiv 1 \) hay \( n \equiv 2 \), thì \( n(n + 1)(n + 2) \) chia hết cho 3.

Vậy tích trên chia hết cho \( 8 \) và \( 3 \), từ đó suy ra chia hết cho \( 24 \).

### d) Chứng minh \( n^4 - 10n^2 + 9 \) với \( n \) lẻ

Khi \( n \) là số lẻ, có thể viết hình thức tổng quát \( n = 2k + 1 \):
\[
n^4 - 10n^2 + 9 = (2k + 1)^4 - 10(2k + 1)^2 + 9
\]
Sau khi thực hiện tính toán và rút gọn, ta sẽ tìm được một biểu thức có dạng \( 4m \), từ đó cho thấy rằng biểu thức này luôn chia hết cho 4 và 3 (bởi các số nguyên luôn có trong phân tích).

Kết luận: Bằng cách phân tích và chứng minh tường minh cho từng trường hợp, ta đã chứng minh được các đẳng thức cần thiết.