Để giải quyết bài toán này, ta sẽ thực hiện từng phép tính một.

### Phần (e)
Bài toán là:

\[
\left( \frac{x - 4}{7} \right)^2 = \frac{1}{49}
\]

1. **Lấy căn bậc hai của hai vế:**

\[
\frac{x - 4}{7} = \pm \frac{1}{7}
\]

2. **Giải hai trường hợp:**

**Trường hợp 1:**
\[
\frac{x - 4}{7} = \frac{1}{7}
\]

Nhân hai vế với 7:
\[
x - 4 = 1 \quad \Rightarrow \quad x = 5
\]

**Trường hợp 2:**
\[
\frac{x - 4}{7} = -\frac{1}{7}
\]

Nhân hai vế với 7:
\[
x - 4 = -1 \quad \Rightarrow \quad x = 3
\]

Vậy nghiệm của phần (e) là \( x = 5 \) hoặc \( x = 3 \).

### Phần (f)
Bài toán là:

\[
\frac{11}{4} \left[ \left( \frac{x + 1}{2} \right)^3 - \frac{15}{12} \right] = \frac{5}{8}
\]

1. **Nhân hai vế với \( \frac{4}{11} \):**

\[
\left( \frac{x + 1}{2} \right)^3 - \frac{15}{12} = \frac{20}{11}
\]

2. **Cộng \( \frac{15}{12} \) cho hai vế:**

Chuyển \( \frac{15}{12} \) về mẫu số là \( 11 \):
\[
\left( \frac{x + 1}{2} \right)^3 = \frac{20}{11} + \frac{15}{12}
\]

Tìm mẫu số chung:
\[
\frac{20 \cdot 12}{132} + \frac{15 \cdot 11}{132} = \frac{240 + 165}{132} = \frac{405}{132}
\]

Rút gọn:
\[
\frac{405}{132} = \frac{135}{44}
\]

Vậy ta có:
\[
\left( \frac{x + 1}{2} \right)^3 = \frac{135}{44}
\]

3. **Lấy căn bậc ba cho hai vế:**

\[
\frac{x + 1}{2} = \sqrt[3]{\frac{135}{44}}
\]

4. **Nhân hai vế với 2:**
\[
x + 1 = 2 \sqrt[3]{\frac{135}{44}}
\]

5. **Giải cho \( x \):**
\[
x = 2 \sqrt[3]{\frac{135}{44}} - 1
\]

Kết quả phần (f) là:
\[
x = 2 \sqrt[3]{\frac{135}{44}} - 1
\]

### Tóm lại
- Phần (e): \( x = 5 \) hoặc \( x = 3 \)
- Phần (f): \( x = 2 \sqrt[3]{\frac{135}{44}} - 1 \)