Gọi M là điểm bất kì trên đường trung tuyến AD của tam giác ABC. Gọi P là giao điểm của BM và AC, Q là giao điểm của CM và AB. CM PQ // BC

Để giải quyết bài toán, ta sẽ sử dụng các tính chất hình học của tam giác và các đường thẳng trong tam giác.

Giả sử \( D \) là trung điểm của đoạn thẳng \( BC \) (do \( D \) nằm trên đường trung tuyến \( AD \)). Từ điểm \( A \), kẻ đường thẳng \( AD \) và kéo dài đến \( M \) (một điểm bất kỳ trên \( AD \)).

Khi đó, \( P \) là giao điểm của \( BM \) và \( AC \), còn \( Q \) là giao điểm của \( CM \) và \( AB \). Theo giả thiết, ta cần chứng minh rằng \( CM \) song song với \( BC \) và \( PQ \).

**Chứng minh:**

1. **Xét tam giác \( ABC \)**:
- Gọi \( AB \) là \( b \), \( AC \) là \( c \), và \( BC \) là \( a \).

2. **Sử dụng định lý Menelaus**:
- Thực hiện trong tam giác \( ACB \) với các đường thẳng \( BM \) và \( AC \):
\[
\frac{AP}{PC} \cdot \frac{CM}{MA} \cdot \frac{BD}{DA} = 1
\]
- Vậy, nếu ta chọn \( M \) thuộc \( AD \), có một tỉ lệ nhất định giữa các đoạn thẳng đã cho.

3. **Hai đường thẳng song song**:
- Nếu \( PQ \) song song với \( BC \), từ các tỉ lệ đã chọn và giao điểm của các đường thẳng \( BM \) và \( CM \), sẽ dẫn đến \( \frac{AP}{PC} = \frac{CQ}{QA} \), tức là từ định nghĩa về tỉ lệ của phân đoạn.

4. **Kết luận**:
- Theo quy tắc tương tự của tam giác, ta có \( CM \parallel BC \).
- Từ đó, kết luận rằng \( CM \parallel PQ \) khi và chỉ khi \( P \) đi qua giao điểm với \( AC \) và \( Q \) giao điểm với \( AB \).

Do vậy, nếu \( CM \) song song với \( BC \), điều này dẫn đến việc \( PQ \) cũng sẽ song song với \( BC \).

Vậy ta có thể khẳng định rằng nếu \( CM \parallel BC \) thì \( PQ \) cũng sẽ song song với \( BC \).