Cho x/2 + y/3 ≤ 10, có tất cả bao nhiêu nghiệm không âm?

Để giải bài toán tìm số nghiệm không âm của bất phương trình \( \frac{x}{2} + \frac{y}{3} \leq 10 \), chúng ta sẽ biến đổi và phân tích bất phương trình này.

Bước đầu tiên là đưa bất phương trình về dạng dễ hiểu hơn. Ta nhân toàn bộ phương trình với 6 (để loại bỏ mẫu số):

\[
6 \left( \frac{x}{2} + \frac{y}{3} \right) \leq 6 \cdot 10
\]

Từ đó, ta có:

\[
3x + 2y \leq 60
\]

Bây giờ, chúng ta sẽ tìm các cặp số nguyên không âm \( (x, y) \) thoả mãn điều kiện \( 3x + 2y \leq 60 \).

### 1. Xác định giới hạn cho x:
Từ bất phương trình \( 3x + 2y \leq 60 \), khi \( y = 0 \):

\[
3x \leq 60 \implies x \leq 20
\]

Vậy \( x \) có thể nhận các giá trị từ 0 đến 20.

### 2. Xác định y theo x:
Với mỗi giá trị cụ thể của \( x \), chúng ta sẽ tính giá trị tối đa của \( y \):

\[
2y \leq 60 - 3x \implies y \leq \frac{60 - 3x}{2}
\]

### 3. Tính số nguyên không âm cho y:
Yêu cầu về \( y \) là \( y \) phải không âm, do đó:

\[
y \geq 0 \implies 60 - 3x \geq 0 \implies x \leq 20
\]

Trong trường hợp cụ thể cho từng giá trị của \( x \):
- Khi \( x = 0 \): \( y \leq \frac{60 - 0}{2} = 30 \) (có 31 giá trị, từ 0 đến 30)
- Khi \( x = 1 \): \( y \leq \frac{60 - 3(1)}{2} = \frac{57}{2} = 28.5 \) (có 29 giá trị)
- Khi \( x = 2 \): \( y \leq \frac{60 - 3(2)}{2} = \frac{54}{2} = 27 \) (có 28 giá trị)
- ...
- Khi \( x = 20 \): \( y \leq \frac{60 - 3(20)}{2} = 0 \) (có 1 giá trị)

### 4. Tổng số nghiệm:
Để tính tổng số nghiệm, ta sẽ cộng số nghiệm cho từng giá trị của \( x \):

\[
31 + 29 + 28 + \ldots + 1
\]

Đây là tổng của một cấp số cộng với số hạng đầu là 1, số hạng cuối là 31 và số hạng là 31.

Số hạng cuối cùng là 31 và số hạng đầu tiên là 1:
- Số hạng là 31.

Tổng là:

\[
\text{Tổng} = \frac{n}{2} \cdot (\text{số hạng đầu} + \text{số hạng cuối}) = \frac{31}{2} \cdot (1 + 31) = \frac{31 \cdot 32}{2} = 496
\]

Vậy, tổng số nghiệm không âm của bất phương trình \( \frac{x}{2} + \frac{y}{3} \leq 10 \) là **496**.