Để tìm giá trị của \( n \) sao cho biểu thức \( n^2 + 2n + 20 \) là một số chính phương, trước tiên ta biểu diễn số chính phương dưới dạng \( k^2 \), với \( k \) là một số nguyên không âm. Vậy ta có:

\[
n^2 + 2n + 20 = k^2
\]

Chúng ta có thể viết lại phương trình này thành phương trình bậc hai theo \( n \):

\[
n^2 + 2n + (20 - k^2) = 0
\]

Để phương trình bậc hai có nghiệm thực, chúng ta cần điều kiện rằng delta \( \Delta \) của phương trình này phải không âm:

\[
\Delta = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (20 - k^2)
\]
\[
= 4 - 80 + 4k^2 = 4k^2 - 76
\]

Ta yêu cầu \( \Delta \geq 0 \):

\[
4k^2 - 76 \geq 0
\]

Giải bất phương trình này:

\[
4k^2 \geq 76
\]
\[
k^2 \geq 19
\]

Do đó, \( k \) phải lớn hơn hoặc bằng \( \sqrt{19} \). Vì \( k \) là số nguyên, giá trị tối thiểu của \( k \) là 5 (vì \( 5^2 = 25 \) > 19). Vậy ta thử với các giá trị nguyên bắt đầu từ 5 trở lên.

Tiến hành thử nghiệm với các giá trị của \( k \):

### 1. Với \( k = 5 \):
\[
n^2 + 2n + 20 = 25 \implies n^2 + 2n - 5 = 0
\]
Tính delta:
\[
\Delta = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 4 + 20 = 24 > 0
\]
Nghiệm của phương trình:
\[
n = \frac{-2 \pm \sqrt{24}}{2} = -1 \pm \sqrt{6}
\]

Giá trị này không phải là số nguyên.

### 2. Với \( k = 6 \):
\[
n^2 + 2n + 20 = 36 \implies n^2 + 2n - 16 = 0
\]
Tính delta:
\[
\Delta = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-16) = 4 + 64 = 68 > 0
\]
Nghiệm của phương trình:
\[
n = \frac{-2 \pm \sqrt{68}}{2} = -1 \pm \sqrt{17}
\]

Giá trị này cũng không phải là số nguyên.

### 3. Với \( k = 7 \):
\[
n^2 + 2n + 20 = 49 \implies n^2 + 2n - 29 = 0
\]
Tính delta:
\[
\Delta = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-29) = 4 + 116 = 120 > 0
\]
Nghiệm của phương trình:
\[
n = \frac{-2 \pm \sqrt{120}}{2} = -1 \pm \sqrt{30}
\]

Giá trị này cũng không phải là số nguyên.

### 4. Với \( k = 8 \):
\[
n^2 + 2n + 20 = 64 \implies n^2 + 2n - 44 = 0
\]
Tính delta:
\[
\Delta = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-44) = 4 + 176 = 180 > 0
\]
Nghiệm của phương trình:
\[
n = \frac{-2 \pm \sqrt{180}}{2} = -1 \pm \sqrt{45}
\]

Giá trị này cũng không phải là số nguyên.

### 5. Tiếp tục với \( k = 9 \):
\[
n^2 + 2n + 20 = 81 \implies n^2 + 2n - 61 = 0
\]
Tính delta:
\[
\Delta = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-61) = 4 + 244 = 248 > 0
\]
Nghiệm của phương trình:
\[
n = \frac{-2 \pm \sqrt{248}}{2} = -1 \pm \sqrt{62}
\]

Giá trị này cũng không phải là số nguyên.

### Quan sát và tổng quát hóa:
Từ các giá trị trên, ta thấy rằng các nghiệm có hình thức tương tự và có xu hướng không cung cấp giá trị nguyên. Do đó, ta có thể thử tiếp với các giá trị lớn hơn cho k hoặc áp dụng cách khác để tìm kiếm.

### Kết luận:
Cứ tiếp tục như vậy với các giá trị tăng thêm cho đến khi tìm được giá trị nào cho \( n^2 + 2n + 20 \) là số chính phương, hoặc dừng ở đâu có thể xét thêm qua một phương pháp khác. Nếu bạn cần một gợi ý hay cần thêm sự hỗ trợ, hãy cho tôi biết!