Để giải bài toán, chúng ta sẽ lần lượt từng phần một.

### a) Chứng minh DE // BC

Xét tam giác ABC với trung tuyến AM. Theo định nghĩa, trung tuyến AM chia cạnh BC thành hai đoạn bằng nhau, tức là BM = MC.

Theo định lý về các đường phân giác, đường phân giác AM chia tam giác thành hai tam giác:
- Tam giác ABM
- Tam giác AMC

Bây giờ xét hai góc:
- Góc AMD = góc AMB
- Góc AME = góc AMC

Vì AM là đường phân giác của góc A, nên:

\[
\frac{AB}{AM} = \frac{AD}{DB} \quad \text{(theo định lý phân giác)}
\]

Tương tự, ta có:

\[
\frac{AC}{AM} = \frac{AE}{EC} \quad \text{(theo định lý phân giác)}
\]

Do đó, ta có:

\[
\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}
\]

Theo định lý tỷ lệ, hai đoạn thẳng DE và BC sẽ song song. Vậy \( DE \parallel BC \).

### b) Gọi I là giao điểm của AM và DE. Chứng minh DI = IE

Do DE // BC, ta có hai tam giác ABM và AMC với các cạnh tương ứng tỷ lệ:

\[
\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}
\]

Khi đó, từ định lý Thales ta có:

\[
\frac{DI}{IE} = \frac{AD}{AE} = \frac{BM}{MC} = 1
\]

(Do BM = MC). Vậy \( DI = IE \).

### c) Tính DE biết BC = 30 cm, AM = 10 cm

Bởi vì DE // BC và tính chất song song tồn tại tỉ lệ giữa các đoạn, do đó:

\[
\frac{DE}{BC} = \frac{AM}{AB}
\]

Lại do AM là trung tuyến, mà \( AM = \frac{1}{2} BC \):

\[
AB = \sqrt{AM^2 + \left(\frac{BC}{2}\right)^2}
\]

Tính AB:

\[
BM = \frac{BC}{2} = \frac{30}{2} = 15 \text{ cm}
\]

Do đó:

\[
AB = \sqrt{(10)^2 + (15)^2} = \sqrt{100 + 225} = \sqrt{325} = 5\sqrt{13}
\]

Sau đó, tính DE:

\[
DE = \frac{AM}{AB} \cdot BC = \frac{10}{5\sqrt{13}} \cdot 30 = \frac{60}{\sqrt{13}}
\]

### d) Chứng minh tam giác ABC cân nếu biết MD = ME

Ta biết rằng MD = ME với M là trung điểm của BC. Bởi vì DE // BC nên tam giác ABO và tam giác ACO là đồng dạng.

Do độ dài của 2 đoạn MD và ME bằng nhau, cho thấy rằng D và E đều cách đều A; từ đó chứng tỏ rằng:

\[
AB = AC
\]

Suy ra tam giác ABC cân tại A.

Tóm lại:
- a) \( DE \parallel BC \)
- b) \( DI = IE \)
- c) \( DE = \frac{60}{\sqrt{13}} \) cm
- d) Tam giác ABC là tam giác cân.