Tìm số nguyên x; y sao cho x^2 +2y^2 +2xy +y-2 = 0

Để giải phương trình:

\[ x^2 + 2y^2 + 2xy + y - 2 = 0, \]

ta có thể xem đây là một phương trình bậc hai theo biến \( x \). Các hệ số sẽ được xác định từ dạng chuẩn của phương trình bậc hai.

Phương trình có thể viết lại theo dạng:

\[ x^2 + (2y)x + (2y^2 + y - 2) = 0. \]

Để phương trình bậc hai này có nghiệm nguyên theo \( x \), điều kiện cần thiết là phản số trong căn bậc hai phải không âm. Ta xét:

\[ \Delta = b^2 - 4ac = (2y)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (2y^2 + y - 2). \]

Tính delta:

\[ \Delta = 4y^2 - 4(2y^2 + y - 2) = 4y^2 - (8y^2 + 4y - 8). \]
\[ = 4y^2 - 8y^2 - 4y + 8 = -4y^2 - 4y + 8. \]

Đặt:

\[ \Delta = -4(y^2 + y - 2). \]

Để \(\Delta \geq 0\), ta yêu cầu:

\[ y^2 + y - 2 \leq 0. \]

Giải bất phương trình bậc hai này bằng cách tìm nghiệm của phương trình \( y^2 + y - 2 = 0 \):

Áp dụng công thức nghiệm:

\[ y = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{-1 \pm 3}{2}. \]

Ta có hai nghiệm:

\[ y_1 = 1 \quad \text{và} \quad y_2 = -2. \]

Bất phương trình \( y^2 + y - 2 \leq 0 \) có nghiệm trong khoảng:

\[ -2 \leq y \leq 1. \]

Bây giờ ta sẽ thử nghiệm các giá trị nguyên trong khoảng này.

1. **Với \( y = -2 \):**

\[ x^2 + 2(-2)^2 + 2x(-2) + (-2) - 2 = 0 \]
\[ x^2 + 8 - 4x - 2 - 2 = 0 \]
\[ x^2 - 4x + 4 = 0 \]
\[ (x - 2)^2 = 0 \Rightarrow x = 2. \]

Kết quả: \( (x, y) = (2, -2) \).

2. **Với \( y = -1 \):**

\[ x^2 + 2(-1)^2 + 2x(-1) + (-1) - 2 = 0 \]
\[ x^2 + 2 - 2x - 1 - 2 = 0 \]
\[ x^2 - 2x - 1 = 0 \]

Giá trị của delta sẽ là:

\[ \Delta = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 4 + 4 = 8, \]
là một số dương nhưng không có nghiệm nguyên.

3. **Với \( y = 0 \):**

\[ x^2 + 0 + 0 + 0 - 2 = 0 \Rightarrow x^2 = 2 \]
không có nghiệm nguyên.

4. **Với \( y = 1 \):**

\[ x^2 + 2(1)^2 + 2x(1) + (1) - 2 = 0 \]
\[ x^2 + 2 + 2x + 1 - 2 = 0 \]
\[ x^2 + 2x + 1 = 0 \]
\[ (x + 1)^2 = 0 \Rightarrow x = -1. \]

Kết quả: \( (x, y) = (-1, 1) \).

Tổng kết, các cặp nghiệm nguyên \( (x, y) \) của phương trình trên là:

- \( (2, -2) \)
- \( (-1, 1) \)