Để chứng minh rằng 4 điểm \( D, C, E, H \) nằm trên cùng một đường tròn, ta sẽ sử dụng tính chất của các góc và đường vuông góc trong tam giác.

1. **Chứng minh các góc:**
- Gọi \( \angle ADB \) là góc vuông (vì \( AD \) là đường cao).
- Gọi \( \angle ABE \) là góc vuông (vì \( BE \) là đường cao).
- Như vậy, ta có \( \angle ADB = 90^\circ \) và \( \angle ABE = 90^\circ \).

2. **Tính chất góc của hình tròn:**
- Ta chứng minh được rằng \( \angle DHC \) cũng bằng \( 90^\circ \):
- Vì \( H \) là giao điểm của \( AD \) và \( BE \), \( DH \) có thể coi là đường cao từ \( D \) xuống \( BE \), và \( HC \) là đường cao từ \( C \) xuống \( AD \).
- Suy ra \( \angle DHC = 90^\circ \).

3. **Sử dụng tính chất của đường tròn:**
- Theo định lý Thales, 4 điểm \( D, C, E, H \) sẽ cùng nằm trên một đường tròn nếu \( DH \) và \( CE \) là hai đường sinh ra các góc vuông tại \( H \).
- Từ các mối quan hệ về góc chúng ta đã chứng minh, ta thấy \( \angle DHE = \angle DHC = 90^\circ \).

4. **Kết luận:**
- Vì \( \angle DHC + \angle DHE = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ \), do đó 4 điểm \( D, C, E, H \) nằm trên cùng một đường tròn.

Vậy ta đã hoàn thành việc chứng minh 4 điểm \( D, C, E, H \) thuộc cùng một đường tròn.