Để giải phương trình \( (x - 1)^3 + (x + 2)^3 = (2x + 1)^3 \), ta có thể sử dụng quy tắc khai triển hằng đẳng thức.

Đầu tiên, ta hãy khai triển từng bên của phương trình:

1. **Khai triển bên trái**:
\[
(x - 1)^3 = x^3 - 3x^2 + 3x - 1,
\]
\[
(x + 2)^3 = x^3 + 6x^2 + 12x + 8.
\]
Khi cộng lại, ta có:
\[
(x - 1)^3 + (x + 2)^3 = (x^3 - 3x^2 + 3x - 1) + (x^3 + 6x^2 + 12x + 8).
\]
Nhóm các hạng tử lại:
\[
= 2x^3 + (6x^2 - 3x^2) + (3x + 12x) + (-1 + 8)
\]
\[
= 2x^3 + 3x^2 + 15x + 7.
\]

2. **Khai triển bên phải**:
\[
(2x + 1)^3 = 8x^3 + 12x^2 + 6x + 1.
\]

3. **Đưa phương trình về dạng tổng quát**:
\[
2x^3 + 3x^2 + 15x + 7 = 8x^3 + 12x^2 + 6x + 1.
\]

4. **Chuyển tất cả các hạng tử về một bên**:
\[
2x^3 + 3x^2 + 15x + 7 - 8x^3 - 12x^2 - 6x - 1 = 0
\]
\[
-6x^3 - 9x^2 + 9x + 6 = 0.
\]
Nhân cả phương trình với -1 để có dạng thuận tiện hơn:
\[
6x^3 + 9x^2 - 9x - 6 = 0.
\]

5. **Rút gọn phương trình**:
Chia cả phương trình cho 3:
\[
2x^3 + 3x^2 - 3x - 2 = 0.
\]

6. **Tìm nghiệm cho phương trình bậc 3 này**. Ta có thể thử các giá trị của \(x\) để tìm nghiệm.

Thử \(x = 1\):
\[
2(1)^3 + 3(1)^2 - 3(1) - 2 = 2 + 3 - 3 - 2 = 0.
\]
Vậy \(x = 1\) là một nghiệm.

7. **Phân tích đa thức** \(2x^3 + 3x^2 - 3x - 2\) bằng cách chia cho \(x - 1\) để tìm các nghiệm còn lại:
Thực hiện phép chia đa thức (hoặc sử dụng phương pháp Horner):
- Sau khi chia, ta có được một đa thức bậc 2 \(2x^2 + 5x + 2\).

8. **Giải phương trình bậc 2**:
Sử dụng công thức nghiệm:
\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-5 \pm \sqrt{5^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 \pm \sqrt{25 - 16}}{4} = \frac{-5 \pm 3}{4}.
\]
Ta có các nghiệm:
\[
x_1 = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}, \quad x_2 = \frac{-8}{4} = -2.
\]

9. **Kết luận**:
Các nghiệm của phương trình \( (x - 1)^3 + (x + 2)^3 = (2x + 1)^3 \) là:
\[
x = 1, \quad x = -\frac{1}{2}, \quad x = -2.
\]