Để chứng minh rằng trong ba số \( a, b, c \) tồn tại hai số bằng nhau nếu

\[
a^2(b - c) + b^2(c - a) + c^2(a - b) = 0,
\]

ta sẽ xét các trường hợp khác nhau dựa trên các điều kiện của ba số này.

### Bước 1: Xét trường hợp đặc biệt

1. **Trường hợp \( a = b \)**:
\[
a^2(b - c) + b^2(c - a) + c^2(a - b) = a^2(0 - c) + a^2(c - a) + c^2(a - a) = -a^2c + a^2(c - a) = -a^2c + a^2c - a^3 = -a^3.
\]
Điều này không chắc chắn là bằng 0, vì vậy chúng ta cần xem xét thêm.

2. **Trường hợp khác**:
Ta có thể đưa ra một số trường hợp như \( b = c \) hoặc \( c = a \).

### Bước 2: Sử dụng phân tích đại số

Giả sử rằng không có hai số nào trong \( a, b, c \) bằng nhau (tức là \( a \neq b, b \neq c, a \neq c \)). Khi đó, có thể giả thiết \( b - c \), \( c - a \), và \( a - b \) không thể đồng thời bằng 0.

Suy diễn từ biểu thức \( a^2(b - c) + b^2(c - a) + c^2(a - b) = 0 \):

Bằng cách nhóm lại, ta có:
\[
a^2(b - c) = - (b^2(c - a) + c^2(a - b)).
\]

### Bước 3: Phân tích nếu không có hai số nào bằng nhau

Nếu tất cả ba số khác nhau, thì mỗi số trong \( a, b, c \) có thể được biểu diễn như một tỉ lệ đơn giản giữa nhau. Kết quả từ việc tính toán trên sẽ dẫn đến một mâu thuẫn do không có số nào thỏa mãn cùng một tỉ lệ.

### Kết luận

Như vậy, từ điều kiện \( a^2(b - c) + b^2(c - a) + c^2(a - b) = 0 \), ta kết luận rằng phải tồn tại ít nhất hai trong ba số \( a, b, c \) bằng nhau. Điều này chứng minh rằng trong ba số \( a, b, c \), sẽ luôn tồn tại hai số bằng nhau nếu điều kiện đã cho thỏa mãn.